本节对应原书 PDF 第 16–18 页。符号表、定义、公式逐字取自原书；解释性文字为 AI 通俗化改写；标有「解读」的引用块为 AI 补充的额外直觉。

1.1.1 集合符号

这一节是一张"符号速查表"。离散数学的书写方式与中学数学最大的不同，是几乎每一步都在跟集合与逻辑符号打交道，所以先把符号的读法固定下来。

x \in A —— x 是 A 的元素.

x \notin A —— x 不是 A 的元素.

A \subseteq B —— A 是 B 的子集，或 A 包含于 B（B 包含 A）.

A \nsubseteq B —— A 不是 B 的子集，或 B 不包含 A.

A \subset B —— A 是 B 的真子集.

A = B —— A 与 B 有相同的元素.

A \cup B —— A 并 B.

\bigcup_{i=1}^{n} A_i \quad \text{——} \quad A_1, A_2, \cdots, A_n \text{ 之并}.

A \cap B —— A 交 B.

\bigcap_{i=1}^{n} A_i \quad \text{——} \quad A_1, A_2, \cdots, A_n \text{ 之交}.

A - B —— B 对 A 的相对补.

A \oplus B —— A 与 B 的对称差.

P(A) —— A 的幂集.

\varnothing —— 空集.

\mathbf{N} —— 自然数集（含 0）.

\mathbf{N}^+ —— 非 0 自然数集.

\mathbf{Z} —— 整数集.

\mathbf{Z}^+ —— 正整数集.

\mathbf{Q} —— 有理数集.

\mathbf{Q}^* —— 非零有理数集，即 \mathbf{Q} - \{0\}.

\mathbf{R} —— 实数集.

\mathbf{R}^* —— 非零实数集，即 \mathbf{R} - \{0\}.

\mathbf{C} —— 复数集.

解读：\subseteq 与 \subset 在这里是两个不同的符号——前者允许两边相等，后者是"真子集"（必须不相等）。读题时看到 \subset 就要多想一步"能不能相等"。另外 \mathbf{N} 含 0 而 \mathbf{N}^+ 不含 0，是本书的约定，与部分教材把 \mathbf{N} 定为从 1 开始不同。

1.1.2 运算符号

求和、求积号把"一长串加法/乘法"压成一个符号；整除与同余符号是数论部分的常用语言；取整、绝对值、最大公约数等符号则在后文反复出现。

\sum_{i=1}^{n} a_i \quad \text{——} \quad a_1, a_2, \cdots, a_n \text{ 之和，即 } a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
\sum_{i=1}^{\infty} a_i \quad \text{——} \quad a_1, a_2, \cdots \text{ 之和，即 } a_1 + a_2 + \cdots.
\prod_{i=1}^{n} a_i \quad \text{——} \quad a_1, a_2, \cdots, a_n \text{ 之积，即 } a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n.
\prod_{i=1}^{\infty} a_i \quad \text{——} \quad a_1, a_2, \cdots \text{ 之积，即 } a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots.

a \mid b —— a 整除 b. 例如，3 \mid 9，2 \mid 8，\cdots.

a \nmid b —— a 不能整除 b. 例如，3 \nmid 8，2 \nmid 9，\cdots.

a \equiv b \pmod n —— a 与 b 被 n 除余数相同. 例如，4 \equiv 7 \pmod 3，1 \equiv 3 \pmod 2.

(a - b) \equiv 0 \pmod n —— n \mid (a - b). 例如，(4 - 7) \equiv 0 \pmod 3，(5 - 3) \equiv 0 \pmod 2.

\max(a, b)（或 \max\{a, b\}）—— 为 a, b 中的大者. 例如，\max(5, 7) = 7，\max(-5, 8) = 8.

\min(a, b)（或 \min\{a, b\}）—— 为 a, b 中的小者. 例如，\min(-2, 5) = -2，\min(5, 7) = 5.

\gcd(a, b) —— a 与 b 的最大公约数. 例如，\gcd(5, 7) = 1，\gcd(3, 27) = 3，\gcd(6, 8, 10) = 2.

\operatorname{lcm}(a, b) —— a 与 b 的最小公倍数. 例如，\operatorname{lcm}(5, 7) = 35，\operatorname{lcm}(2, 4, 8) = 8，\operatorname{lcm}(3, 4, 27) = 108.

|x| —— x 的绝对值（x 为任意实数），即

|x| = \begin{cases} x & \text{当 } x \geqslant 0 \text{ 时} \\ -x & \text{当 } x < 0 \text{ 时} \end{cases}

例如，|-2.5| = 2.5，|3.3| = 3.3，|0| = 0.

\lceil x \rceil —— 大于等于 x 的最小整数. 例如，\lceil -2.2 \rceil = -2，\lceil -2 \rceil = -2，\lceil -1.5 \rceil = -1，\lceil -0.3 \rceil = 0，\lceil 0.7 \rceil = 1，\lceil 3.4 \rceil = 4，\lceil 5 \rceil = 5. 称 \lceil x \rceil 为天花板函数或上限函数.

\lfloor x \rfloor —— 小于等于 x 的最大整数. 例如，\lfloor -2.2 \rfloor = -3，\lfloor -2 \rfloor = -2，\lfloor -1.5 \rfloor = -2，\lfloor -0.3 \rfloor = -1，\lfloor 0.7 \rfloor = 0，\lfloor 3.4 \rfloor = 3，\lfloor 5 \rfloor = 5. 称 \lfloor x \rfloor 为地板函数或下限函数.

|A| —— 有穷集合 A 中的元素个数.

注：这里使用的符号仅为一些基本的数学符号，后面各章还会根据不同内容的需要引入相关的数学符号，在此没有一并列出.

解读：取整函数对负数最容易出错。\lceil x \rceil 是"往上够到整数"，\lfloor x \rfloor 是"往下落到整数"，两者对负数的结果正好朝相反方向离开 0——\lceil -2.2 \rceil = -2 变大，\lfloor -2.2 \rfloor = -3 变小。可以记成"天花板在上方，地板在下方"。

1.1.3 逻辑符号

联结词是命题的"运算符号"。后面每一章的定理证明，都要用这套符号把"若…则…""当且仅当"写清楚。

\neg p —— 非 p 或 p 的否定，\neg 称为否定联结词，\neg p 为真当且仅当 p 为假.

p \wedge q —— p 并且 q，\wedge 称为合取联结词，p \wedge q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真.

p \vee q —— p 或 q，\vee 称为析取联结词，p \vee q 为假当且仅当 p 与 q 同时为假.

p \rightarrow q —— 如果 p，则 q，\rightarrow 称为蕴涵联结词，p \rightarrow q 为假当且仅当 p 为真而 q 为假.

p \leftrightarrow q —— p 当且仅当 q，\leftrightarrow 称为等价联结词，p \leftrightarrow q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真或同时为假.

A \Rightarrow B —— 表示 A \rightarrow B 恒真，即如果 A 为真，则 B 一定为真.

A \Leftrightarrow B —— 表示 A \leftrightarrow B 恒真，即 A 与 B 要么同时为真，要么同时为假.

今后常用 A \Rightarrow B 表示由 A 可推出 B，用 A \Leftrightarrow B 表示 A 当且仅当 B，或 A 的充分必要条件是 B.

\forall x —— 对每一个 x，或对所有的 x，\forall 称为全称量词.

\exists x —— 存在 x，或有一个 x，\exists 称为存在量词.

解读：\rightarrow 与 \Rightarrow 的区别不在"内容"而在"身份"：\rightarrow 是一个联结词，用来组成一个命题，它可真可假；\Rightarrow 是元语言里的断言，表示左边的蕴涵式恒真，即一条推理规则。证明中写 \Rightarrow 就等于宣布"这一步必然成立"。

解读：p \vee q 是"可兼或"——p、q 都真时整个式子仍为真；它只在两者都假时才假。日常汉语的"或"有时是排他的（"要么…要么…"），读逻辑式子时不能带入这层意思。