本节对应原书 PDF 第 32–37 页（习题题干）与答案书 PDF 第 19–28 页（解答）. 题干与答案书的原解答逐字保留；AI 补充的说明放入折叠块。

习题题干

1.1 用列举法表示下列各集合.

（1）\{x \mid x 是方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的根 \}.

（2）\{x \mid x 是方程 x^2 - 2x + 5 = 0 的实根 \}.

（3）\{x \mid x 是完全数 \wedge 5 \leqslant x \leqslant 10\}.

（4）\{x \mid x 是整数 \wedge x^2 = 3\}.

（5）\{x \mid x 是空集 \}.

1.2 用描述法表示下列各集合.

（1）\{x, y, z\}.

（2）\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}.

（3）\{\varnothing, \{\varnothing\}\}.

（4）\varnothing.

1.3 判断下列每组的两个集合是否相等.

（1）A = \{3, 1, 1, 5, 5\}，B = \{1, 3, 5\}.

（2）A = \varnothing，B = \{\varnothing\}.

（3）A = \varnothing，B = \{x \mid x 是有理数并且是无理数 \}.

（4）A = \{1, 2, \varnothing\}，B = \{\{\varnothing\}, 2, 1\}.

1.4 判断下列命题是否为真.

（1）\varnothing \subseteq \varnothing.

（2）\varnothing \subset \varnothing.

（3）\varnothing \in \varnothing.

（4）\varnothing \in \{\varnothing\}.

（5）\varnothing \subseteq \{\varnothing\}.

（6）\{\varnothing\} \subseteq \varnothing.

（7）\{\varnothing\} \in \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}.

1.5 设 A 为任意集合，判断下列命题是否为真.

（1）\varnothing \in P(A).

（2）\varnothing \subseteq P(A).

（3）\{\varnothing\} \in P(A).

（4）\{\varnothing\} \subseteq P(A).

（5）\{\varnothing\} \in P(P(A)).

（6）\{\varnothing, \{\varnothing\}\} \subseteq P(P(A)).

1.6 求下列集合中的元素个数.

（1）\{x \mid x \in \mathbf{Z} \wedge -3 \leqslant x < 2\}.

（2）\{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 是偶素数 \}.

（3）\{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 是奇数 \wedge x 是偶数 \}.

（4）\{\varnothing, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.

（5）\{\{\{\varnothing\}\}\}.

（6）P(A)，A = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}.

1.7 设 A = \{a, 2, \{3\}, 4\}，B = \{\{a\}, 4, 3, 1\}. 判断下列命题是否为真.

（1）a \in A.

（2）a \in B.

（3）\{a\} \in A.

（4）\{a\} \in B.

（5）\{a\} \subseteq A.

（6）\{a\} \subseteq B.

（7）\{a, \{3\}, 4\} \subseteq A.

（8）\{a, \{3\}, 4\} \subseteq B.

（9）\varnothing \subseteq A.

（10）\varnothing \subseteq \{\{a\}\} \subseteq B.

1.8 已知 A, B 为两个集合，且 A \subseteq B，则 A \in B 一定为真吗？

1.9 设 A = \{1, 2, 3, 4\}，试求出 A 的全部 2 元子集.

1.10 设 A = \{\varnothing, a\}，求出 A 的全部子集.

1.11 求下列集合的幂集.

（1）\varnothing.

（2）\{1, \{a, b\}\}.

（3）\{\varnothing, \{\varnothing\}\}.

（4）\{2, 2, 2, 3\}.

1.12 设全集 E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，其子集 A = \{1, 4\}，B = \{1, 2, 5\}，C = \{2, 4\}. 求下列集合.

（1）A \cap \sim B.

（2）(A \cap B) \cup \sim C.

（3）\sim (A \cap B).

（4）P(A) \cap P(B).

（5）P(A) \cap \sim P(B).

1.13 画出下列集合的文氏图.

（1）A \cap (B \cup C).

（2）\sim A \cap \sim B \cap \sim C.

（3）(A - (B \cup C)) \cup ((B \cup C) - A).

1.14 设 A = \{\varnothing\}，B = \{1, 2\}，求 P(A) \oplus P(B).

1.15 设 A \subseteq B \wedge C \subseteq D，证明 A \cup C \subseteq B \cup D.

1.16 设 A \subset B \wedge C \subset D，A \cup C \subseteq B \cup D 一定为真吗？

1.17 设 A, B 为两个集合，已知 A \subseteq B，B \subset A 可能吗？为什么？

1.18 试确定下列集合之间的包含或属于关系.

A = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x > 0 \wedge x^2 = 4\}

B = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x^2 - 5x + 6 = 0\}

C = \{\{x\} \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 为偶数 \}

D = \{\{2\}, \{4\}, \{3\}, 2, 3\}

1.19 对于上题中的 A, B, C, D，计算下列各式.

（1）A \cup B \cup D.

（2）A \cap B \cap D.

（3）A \oplus B.

（4）(A \cap B) \oplus A.

（5）A \oplus C.

1.20 设 A = \{x \mid x 是北京大学文科学生 \}

B = \{x \mid x 是北京大学理科学生 \}

C = \{x \mid x 喜欢看小说 \}

D = \{x \mid x 喜欢数学 \}

已知：北京大学文科学生都爱看小说，北京大学理科学生都喜欢数学，试确定 A, B, C, D 之间的包含关系.

1.21 设 A_i = \{1, 2, \cdots, i\}，i = 1, 2, \cdots，求

（1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i.

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i.

1.22 设 A_i = \{i, i + 1, i + 2, \cdots\}，i = 1, 2, \cdots，求

（1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i.

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i.

1.23 下列集合中，哪些是彼此相等的？

A = \{3, 4\}， \qquad B = \{3, 4\} \cup \varnothing， \qquad C = \{3, 4\} \cup \{\varnothing\}，

D = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x^2 - 7x + 12 = 0\}， \qquad E = \{\varnothing, 3, 4\}，

F = \{3, 4, 4\}， \qquad G = \{4, \varnothing, \varnothing, 3\}

1.24 设全集是某中学全体学生集合，它的子集：

A = \{x \mid x 是男生 \}

B = \{x \mid x 是初三学生 \}

C = \{x \mid x 是科普队的 \}

用谓词描述法表示下面集合.

（1）\sim C.

（2）A \cap B \cap \sim C.

（3）\sim A \cap \sim B \cap C.

1.25 设 A 为任一集合，证明：\{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(P(A))).

1.26 设 A, B, C 为 3 个集合，证明：

（1）若 A \subseteq B \wedge B \subseteq C，则 A \subseteq C.

（2）若 A \in B \wedge B \subseteq C，则 A \in C.

1.27 设 A, B, C 为 3 个集合，已知 (A \cap C) \subseteq (B \cap C)，(A \cap \sim C) \subseteq (B \cap \sim C)，证明：A \subseteq B.

1.28 设 A, B 为集合，证明：A \cap (B - A) = \varnothing.

1.29 设 A, B 为集合，证明：(A \cap B) \cup (A - B) = A.

1.30 用直接证明法证明：若对于任意的集合 B，均有 A \cup B = B，则 A = \varnothing.

1.31 用归谬法证明题 1.30 中的命题.

1.32 化简下列集合表达式.

（1）((A \cup B) \cap B) - (A \cup B).

（2）(((A \cup B \cup C) - (B \cup C)) - (B \cup C)) \cup A.

（3）(B - (A \cap C)) \cup (A \cap B \cap C).

1.33 化简下列集合表达式.

（1）(A \cap B) \cup (A - B).

（2）(A \cup (B - A)) - B.

（3）((A - B) - C) \cup ((A - B) \cap C) \cup ((A \cap B) - C) \cup (A \cap B \cap C).

（4）(A \cap B \cap C) \cup ((A \cap \sim B \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C).

1.34 定理 1.1 的推论改写为：“若 \varnothing_1，\varnothing_2 是任意两个空集，则 \varnothing_1 = \varnothing_2”，试用直接证明法与间接证明法证明之.

1.35 用数学归纳法证明：若 A_1, A_2, \cdots, A_n 为某全集的子集，则

\sim \left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) = \bigcup_{i=1}^{n} (\sim A_i)

1.36 设 A_1, A_2, \cdots, A_n, B 为集合，用数学归纳法证明：

(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) \cup B = (A_1 \cup B) \cap (A_2 \cup B) \cap \cdots \cap (A_n \cup B)

1.37 用数学归纳法证明：\forall n \in \mathbf{N}^+，

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

1.38 用数学归纳法证明：\forall n \in \mathbf{N}^+，

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n + 1)}{2}\right]^2

1.39 用数学归纳法证明：\forall n \in \mathbf{N}^+，3 \mid (n^3 - n).

1.40 递归定义 a_n，n \in \mathbf{N} 如下：

a_0 = 1
a_{n+1} = 2a_n + 1, \quad n \in \mathbf{N}

通过观察给出 a_n 的值，并证明之.

1.41 递归定义集合 A 如下：

（1）3 \in A；

（2）若 x, y \in A，则 xy \in A；

（3）只有有限次应用（1）和（2）得到的数属于 A.

试用描述法表示 A.

1.42 递归定义集合 B 如下：

（1）(\ ) \in B；

（2）若 x, y \in B，则 (x)，(xy) \in B；

（3）只有有限次应用（1）和（2）得到的符号串属于 B.

问下述符号串是否属于 B：

（1）(((\ ))(\ ))

（2）((\ )(\ ))

（3）(\ )(\ )

（4）((\ )(\ )))

（5）(((\ )(\ ))(\ )).

习题解答与分析

以下解答逐字取自答案书（PDF 物理页 p19–p28），属原文层，不放入折叠块。

1.1 设本题中的 5 个集合分别为 A, B, C, D, E，它们的列举法表示为：

（1）A = \left\{\dfrac{1}{2}, -2\right\}. 只需求出给定方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的两个根 \dfrac{1}{2} 和 -2 即可.

（2）B = \varnothing. 只需注意到方程 x^2 - 2x + 5 = 0 的判别式 (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = -16 < 0，因而无实根.

（3）C = \{6\}. 只需注意到完全数的定义：自然数 n(n \geqslant 1) 为完全数 \Leftrightarrow n 等于除本身以外的所有因子之和. 在 5～10 中，只有 6 = 1 + 2 + 3，是完全数，其他都不是完全数.

（4）D = \varnothing.

（5）E = \{\varnothing\}.

注意 本题中 B = D = \varnothing，这正说明空集有不同的描述方法，但空集是唯一的.

1.2 设本题中的 4 个集合分别为 A, B, C, D，则

（1）A = \{x \mid x 是最后 3 个英文字母之一 \}.

（2）B = \{x \mid x \in \mathbf{Z} \wedge |x| \leqslant 3\}，\mathbf{Z} 为整数集.

（3）C = \{x \mid x 为空集或以空集为元素的单元集 \}.

（4）D = \{x \in \mathbf{Z} \wedge x^2 + 2 = 0\}.

注意 A, B, C, D 的表示法都不是唯一的，特别是 D 可以有多种不同的表示法.

1.3 （1）A = B. 只需注意在朴素集合论中，集合中的元素互不相同，并且不讲顺序.

（2）A \neq B. 注意到 A 中无元素，而 B 中有一个元素 \varnothing.

（3）A = B. 注意，B 也是 \varnothing.

（4）A \neq B. 注意，A 中的元素 \varnothing \notin B，B 中的元素 \{\varnothing\} \notin A.

1.4 （1）、（4）、（5）为真，其余的均为假.

分析 解本题要注意以下两点：

① 空集 \varnothing 是一切集合的子集，并且 \varnothing 是唯一的；

② 严格区分集合之间的包含关系以及元素与集合的属于关系.

由①可知（1）、（5）为真，而（2）为假. 由②可知（4）为真，而（3）、（6）、（7）为假.

1.5 只有（3）为假，其余的全为真.

分析 解本题主要应用以下定理或定义：

① 空集 \varnothing 是任何集合的子集；

② 集合幂集的定义：P(A) = \{x \mid x \subseteq A\}，P(P(A)) = \{x \mid x \subseteq P(A)\}；

③ 子集的定义：A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x(x \in A \rightarrow x \in B).

由①与②可知，\varnothing \subseteq A \Rightarrow \varnothing \in P(A)，因而（1）为真；

因为 P(A) 为集合和①可知，\varnothing \subseteq P(A)，因而（2）为真；

因为 \varnothing \in P(A) 和③可知，\{\varnothing\} \subseteq P(A)，因而（4）为真；

由于 \varnothing \in P(A) 和②可知，\{\varnothing\} 为 P(A) 的 1 元子集，所以 \{\varnothing\} \in P(P(A))，故（5）为真；

由①和（5）可知，\{\varnothing, \{\varnothing\}\} \subseteq P(P(A))，所以（6）为真.

对于（3），不是对任何集合都真. 当 A 中含元素 \varnothing 时，（3）为真，例如 A = \{\varnothing, a\}，则 P(A) = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{a\}, \{\varnothing, a\}\}，所以 \{\varnothing\} \in P(A). 而当 A 中不含 \varnothing 时，如 A = \{a, b\} 时，P(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}，此时 \{\varnothing\} \notin P(A). 因而 \{\varnothing\} \in P(A) 为假. 由以上讨论可知，（3）中命题为假.

1.6 记（1）～（6）中集合分别为 A, B, C, D, E, F，只需将它们中的元素均写出来即可得到答案.

A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}, |A| = 5
B = \{2\}, |B| = 1
C = \varnothing, |C| = 0
D = \{\varnothing, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}, |D| = 2
E = \{\{\{\varnothing\}\}\}, |E| = 1
F = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}, |F| = 4

1.7 （1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）为真，（2）、（3）、（6）、（8）为假.

1.8 A \subseteq B 时，A \in B 不一定为真.

当 A 中元素都在 B 中，并且 A 也在 B 中时，A \subseteq B 且 A \in B. 例如，A = \{a, b\}，B = \{a, b, c, d, \{a, b\}\}，此时 A \subseteq B 且 A \in B.

当 A 中元素都在 B 中，但 A 不在 B 中时，A \subseteq B，而 A \notin B. 例如，A = \{\varnothing, a, b, c\}，B = \{\{\varnothing\}, \varnothing, a, b, c, d, e\}，此时 A \subseteq B，A \notin B.

1.9 由于 |A| = 4，所以 A 的 2 元子集共有 \mathrm{C}_4^2 个，它们是 \{1, 2\}、\{1, 3\}、\{1, 4\}、\{2, 3\}、\{2, 4\}、\{3, 4\}.

1.10 A = \{\varnothing, a\} 为 2 元集，因而 A 共有 2^2 = 4 个子集：

0 元子集 1 个：\varnothing；

1 元子集 2 个：\{\varnothing\}，\{a\}；

2 元子集 1 个：\{\varnothing, a\} = A.

1.11 设（1）～（4）中集合分别为 A, B, C, D，注意 D = \{2, 2, 2, 3\} = \{2, 3\}，则

P(A) = \{\varnothing\}
P(B) = \{\varnothing, \{1\}, \{\{a, b\}\}, \{1, \{a, b\}\}\}
P(C) = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}
P(D) = \{\varnothing, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}

1.12 严格按定义求解本题.

（1）\sim B = \{3, 4, 6\}，A \cap \sim B = \{4\}.

（2）\sim C = \{1, 3, 5, 6\}，A \cap B = \{1\}；

(A \cap B) \cup \sim C = \{1, 3, 5, 6\}.

（3）A \cap B = \{1\}，所以，\sim (A \cap B) = \{2, 3, 4, 5, 6\}.

（4）P(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{4\}, \{1, 4\}\}；

P(B) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{5\}, \{1, 2\}, \{1, 5\}, \{2, 5\}, \{1, 2, 5\}\}；

P(A) \cap P(B) = \{\varnothing, \{1\}\}.

（5）\sim P(B) = P(E) - P(B)，而 |P(E)| = 2^6 = 64，|P(B)| = 2^3 = 8，于是 |\sim P(B)| = 64 - 8 = 56. 因而求 \sim P(B) 工作量太大了，但也可以不求 \sim P(B)，就能求出 P(A) \cap \sim P(B).

因为 P(A) = \{\varnothing, \{1\}, \{4\}, \{1, 4\}\}，所以 P(A) \cap \sim P(B) 中至多有 4 个元素，但因 P(B) 中含 \varnothing 和 \{1\}，所以 \sim P(B) 中不含 \varnothing 和 \{1\}，因而 P(A) \cap \sim P(B) 不可能含 \varnothing 和 \{1\}，又因为 4 \notin B，所以 \{4\}，\{1, 4\} 都 \notin P(B)，故 \{4\} \in \sim P(B)，\{1, 4\} \in \sim P(B)，所以

P(A) \cap \sim P(B) = \{\{4\}, \{1, 4\}\}

1.13 （1）A \cap (B \cup C) 的文氏图为图 1.1(a) 中的阴影部分所示.

（2）\sim A \cap \sim B \cap \sim C = \ \sim (A \cup B \cup C)，其文氏图为图 1.1(b) 中的阴影部分所示.

（3）(A - (B \cup C)) \cup ((B \cup C) - A) = A \oplus (B \cup C)，其文氏图为图 1.1(c) 中的阴影部分所示.

原书图1.1（答案书）

图 1.1

观察图 1.1，不难发现，图 1.1(a) 与图 1.1(c) 中阴影部分所表示的集合之并为 A \cup B \cup C. 又图 1.1(a)、图 1.1(b) 和图 1.1(c) 中阴影部分之并为全集 E. 以上的观察结果都是正确的，证明如下.

（1）与（3）中集合之并为

\begin{aligned} &(A \cap (B \cup C)) \cup (A - (B \cup C)) \cup ((B \cup C) - A) \\ &= (A \cap (B \cup C)) \cup (A \cap \sim (B \cup C)) \cup ((B \cup C) \cap \sim A) && (\text{补交转换律}) \\ &= (A \cap ((B \cup C) \cup \sim (B \cup C))) \cup ((B \cup C) \cap \sim A) && (\text{分配律}) \\ &= (A \cap E) \cup ((B \cup C) \cap \sim A) && (\text{排中律（}E\text{ 为全集）}) \\ &= A \cup ((B \cup C) \cap \sim A) && (\text{同一律}) \\ &= (A \cup B \cup C) \cap (A \cup \sim A) && (\text{分配律}) \\ &= (A \cup B \cup C) \cap E && (\text{排中律}) \\ &= A \cup B \cup C && (\text{同一律}) \end{aligned}

（1）、（2）、（3）中集合之并为

\begin{aligned} &(A \cup B \cup C) \cup (\sim A \cap \sim B \cap \sim C) \\ &= (A \cup B \cup C) \cup \sim (A \cup B \cup C) = E && (\text{德摩根律、排中律}) \end{aligned}

通过以上的演算，说明对文氏图的观察结论是正确的.

1.14 A = \{\varnothing\}，P(A) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}，B = \{1, 2\}，P(B) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}，于是

P(A) \oplus P(B) = \{\{\varnothing\}, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

1.15 用包含关系及并集的定义证明.

\forall x，

\begin{aligned} x \in (A \cup C) &\Leftrightarrow x \in A \vee x \in C \\ &\Rightarrow x \in B \vee x \in D \quad (\text{因为 } A \subseteq B \wedge C \subseteq D) \\ &\Leftrightarrow x \in (B \cup D) \end{aligned}

所以 A \cup C \subseteq B \cup D.

1.16 当 A \subset B \wedge C \subset D 时，A \cup C \subseteq B \cup D 不一定为真，也就是说，当 A 与 C 分别为 B 和 D 的真子集时，A \cup C 不一定是 B \cup D 的真子集. 举反例如下：

取 A = \{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 为奇数 \}，C = \{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 为偶数 \}，并取 B = D = \mathbf{N}，则 A \subset B \wedge C \subset D. 可是 A \cup C = B \cup D = \mathbf{N}，其中 \mathbf{N} 为自然数集合.

若改为：

设 A \subset B \wedge C \subset D，则 A \cup C \subseteq B \cup D，则命题为真.

1.17 不可能. 假若 B \subset A，则存在 x \in A \wedge x \notin B，这与 A \subseteq B 矛盾.

1.18 解本题只需用列举法写出各集合，就容易找出集合之间的包含与属于关系.

A = \{2\}；B = \{2, 3\}；C = \{\{0\}, \{2\}, \{4\}, \cdots\}；D = \{\{2\}, \{4\}, \{3\}, 2, 3\}. 易知，A \subset B \subset D，A \in C，A \in D.

1.19 （1）A \cup B \cup D = \{\{2\}, \{3\}, \{4\}, 2, 3\} = D；

（2）A \cap B \cap D = \{2\} = A；

（3）A \oplus B = \{3\}；

（4）(A \cap B) \oplus A = \{2\} \oplus \{2\} = \varnothing；

（5）A \oplus C = \{2, \{0\}, \{2\}, \{4\}, \cdots\} = A \cup C.

1.20 A \subseteq C，B \subseteq D.

1.21 （1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_n = \{1, 2, \cdots, n\}.

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 = \{1\}.

分析 A_i = \{1, 2, \cdots, i\}，i = 1, 2, \cdots，是一个单调增的集合列，A_1 \subset A_2 \subset \cdots，所以

\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_n, \quad \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1

并且 \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \{1, 2, \cdots\} = \mathbf{N} - \{0\}，\mathbf{N} 为自然数集合. 而 \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 = \{1\}.

1.22 （1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 = \{1, 2, \cdots\} = \mathbf{N} - \{0\}.

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_n = \{n, n + 1, \cdots\} = \{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x \geqslant n\}.

分析 A_i = \{i, i + 1, i + 2, \cdots\}，i = 1, 2, \cdots 是单调减的集合列，所以

\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1, \quad \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_n

并且

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1, \quad \text{而} \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = \varnothing

1.23 A = B = D = F，C = E = G.

分析 只需要注意：对于任意集合 A，均有 A \cup \varnothing = A，集合中元素互不相同，并且不讲顺序.

1.24 （1）\sim C = \{x \mid x 不是科普队员 \}.

（2）A \cap B \cap \sim C = \{x \mid x 是初三男生，但不是科普队员 \}.

（3）\sim A \cap \sim B \cap C = \{x \mid x 是女科普队员，但不是初三学生 \}.

1.25 根据定理 1.1（空集是一切集合的子集）及幂集的定义证明本题.

由定理 1.1，得

\begin{aligned} &\varnothing \subseteq A \wedge \varnothing \subseteq P(A) & &\text{①} \\ &\Leftrightarrow \varnothing \in P(A) \wedge \varnothing \in P(P(A)) & &\text{②} \\ &\Rightarrow \{\varnothing\} \in P(P(A)) \wedge \{\varnothing\} \in P(P(P(A))) & &\text{③} \\ &\Rightarrow \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(P(A))) & &\text{④} \end{aligned}

分析或提示 A 与 P(A) 都是集合，由于 \varnothing 是一切集合的子集，所以式①成立. 由幂集的定义可知，式①与式②互为充要条件. 由 \varnothing \in P(A)，因而由 \varnothing 构成的单元集 \{\varnothing\} 为 P(A) 的幂集 P(P(A)) 的元素，即 \{\varnothing\} \in P(P(A))，所以式③成立. 由式③成立，可知 \{\varnothing\}，\varnothing 构成的 2 元集 \{\varnothing, \{\varnothing\}\} 为 P(P(A)) 的幂集 P(P(P(A))) 的元素，即 \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(P(A)))，故式④成立.

其实下面命题为真：

命题 设 A 为任意的集合，则 \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(\cdots P(A) \cdots))，k \geqslant 3.

证明 由 \varnothing \in P(A)，有 \{\varnothing\} \in P(P(A)). 又有 \varnothing \in P(P(A))，从而 \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(P(A))).

一般地，由幂集定义，\varnothing \in P(P(\cdots (P(A)) \cdots))，故 \{\varnothing\} \in P(P(\cdots (P(A)) \cdots)).

根据幂集定义，又有 \varnothing \in P(P(\cdots (P(A)) \cdots))，从而 \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in P(P(\cdots (P(A)) \cdots)).

1.26 用包含关系的定义证明.

（1）\forall x

\begin{aligned} x \in A &\Rightarrow x \in B \quad (\text{因为 } A \subseteq B) \\ &\Rightarrow x \in C \quad (\text{因为 } B \subseteq C) \end{aligned}

所以 A \subseteq C.

（2）B \subseteq C \Leftrightarrow \forall x(x \in B \rightarrow x \in C)，而 A \in B，所以 A \in C.

分析 （1）中命题说明集合之间的包含关系具有传递性.

1.27 方法 1 \forall x \in A，分两种情况讨论.

（1）x \in C. 此时，x \in A \cap C. 由 A \cap C \subseteq B \cap C，有 x \in B \cap C. 从而 x \in B.

（2）x \notin C. 此时，x \in A \cap \sim C. 由 A \cap \sim C \subseteq B \cap \sim C，有 x \in B \cap \sim C. 从而 x \in B.

总之，都有 x \in B. 得证 A \subseteq B.

方法 2

\begin{aligned} A &= A \cap (C \cup \sim C) \\ &= (A \cap C) \cup (A \cap \sim C) \\ &\subseteq (B \cap C) \cup (B \cap \sim C) \\ &= B \cap (C \cup \sim C) \\ &= B \end{aligned}

1.28 方法 1 归谬法. 假设 A \cap (B - A) \neq \varnothing，则存在 x，使得 x \in A \cap (B - A). 于是，x \in A 且 x \in B - A. 由 x \in B - A，有 x \notin A. 从而 x \in A 且 x \notin A，矛盾. 所以，必有 A \cap (B - A) = \varnothing.

方法 2 直接证明法（进行集合演算）.

\begin{aligned} &A \cap (B - A) \\ &= A \cap (B \cap \sim A) && (\text{补交转换律}) \\ &= (A \cap \sim A) \cap B && (\text{交换律、结合律}) \\ &= \varnothing \cap B \\ &= \varnothing \end{aligned}

1.29 可用多种方法证明本题.

方法 1 用集合演算证明.

\begin{aligned} &(A \cap B) \cup (A - B) \\ &= (A \cap B) \cup (A \cap \sim B) && (\text{补交转换律}) \\ &= A \cap (B \cup \sim B) && (\text{分配律}) \\ &= A \cap E && (E\text{ 为全集、排中律}) \\ &= A && (\text{同一律}) \end{aligned}

方法 2 用定义证明.

\forall x \in (A \cap B) \cup (A - B)，有 x \in A \cap B 或 x \in A - B. 对这两种情况都有 x \in A，得证 (A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.

反之，\forall x \in A，分两种情况讨论.

（1）x \in B. 此时，x \in A \cap B. 当然有 x \in (A \cap B) \cup (A - B).

（2）x \notin B. 此时，x \in A - B，也有 x \in (A \cap B) \cup (A - B).

得证 A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B). 所以，(A \cap B) \cup (A - B) = A.

1.30 取 B = \varnothing，则有 A \cup \varnothing = \varnothing. 得证 A = \varnothing.

1.31 用归谬法证明 1.30 题.

假设 A \neq \varnothing，取 B = \varnothing，则 A \cup B = A \neq \varnothing = B，这与对于任何集合 B，均有 A \cup B = B 相矛盾，所以原来命题为真.

分析 “要证明 A \rightarrow B 为真，只需证明 \neg B \rightarrow \neg A 为真”，这就是间接证明法. “而要证明 A \rightarrow B 为真，只需证明当 B 为假时，会推出矛盾来”，这就是归谬法. 对本题来说，两种证明法差不多，都是从 A \neq \varnothing，找到特殊的 B，使 A \cup B = B 为假.

1.32 （1）

\begin{aligned} &((A \cup B) \cap B) - (A \cup B) \\ &= B - (A \cup B) && (\text{吸收律}) \\ &= B \cap \sim (A \cup B) && (\text{补交转换律}) \\ &= B \cap (\sim A \cap \sim B) && (\text{德摩根律}) \\ &= (B \cap \sim B) \cap \sim A && (\text{交换律、结合律}) \\ &= \varnothing && (\text{矛盾律、零律}) \end{aligned}

实际上，由于 (A \cup B) \cap B \subseteq A \cup B，可以直接看出 ((A \cup B) \cap B) - (A \cup B) = \varnothing.

（2）

\begin{aligned} &(((A \cup B \cup C) - (B \cup C)) - (B \cup C)) \cup A \\ &= ((A \cup B \cup C) \cap \sim (B \cup C)) \cup A && (\text{补交转换律}) \\ &= ((A \cap \sim (B \cup C)) \cup ((B \cup C) \cap \sim (B \cup C))) \cup A && (\text{分配律}) \\ &= (A \cap \sim (B \cup C)) \cup A && (\text{矛盾律、同一律}) \\ &= A && (\text{吸收律}) \end{aligned}

（3）

\begin{aligned} &(B - (A \cap C)) \cup (A \cap B \cap C) \\ &= (B \cap \sim (A \cap C)) \cup (A \cap B \cap C) && (\text{补交转换律}) \\ &= (B \cup (A \cap B \cap C)) \cap (\sim (A \cap C) \cup (A \cap B \cap C)) && (\text{分配律}) \\ &= B \cap ((\sim (A \cap C) \cup (A \cap C)) \cap (\sim (A \cap C) \cup B)) && (\text{吸收律、分配律}) \\ &= B \cap (\sim (A \cap C) \cup B) && (\text{排中律、同一律}) \\ &= B && (\text{吸收律}) \end{aligned}

1.33 （1）

\begin{aligned} &(A \cap B) \cup (A - B) \\ &= (A \cap B) \cup (A \cap \sim B) && (\text{补交转换律}) \\ &= A \cap (B \cup \sim B) && (\text{分配律}) \\ &= A && (\text{排中律、同一律}) \end{aligned}

（2）下面不再注明使用的基本集合恒等式，不过读者阅读时一定要在心里把它补上.

\begin{aligned} &(A \cup (B - A)) - B \\ &= (A \cup (B \cap \sim A)) \cap \sim B \\ &= ((A \cup B) \cap (A \cup \sim A)) \cap \sim B \\ &= (A \cup B) \cap \sim B \end{aligned}
\begin{aligned} &= (A \cap \sim B) \cup (B \cap \sim B) \\ &= A \cap \sim B \\ &= A - B \end{aligned}

（3）

\begin{aligned} &((A - B) - C) \cup ((A - B) \cap C) \cup ((A \cap B) - C) \cup (A \cap B \cap C) \\ &= ((A - B) \cap \sim C) \cup ((A - B) \cap C) \cup ((A \cap B) \cap \sim C) \cup (A \cap B \cap C) \\ &= ((A - B) \cap (\sim C \cup C)) \cup ((A \cap B) \cap (\sim C \cup C)) \\ &= (A - B) \cup (A \cap B) \\ &= (A \cap \sim B) \cup (A \cap B) \\ &= A \cap (\sim B \cup B) \\ &= A \end{aligned}

（4）

\begin{aligned} &(A \cap B \cap C) \cup (A \cap \sim B \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ &= (A \cap (B \cup \sim B) \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ &= (A \cap C) \cup (\sim A \cap B \cap C) \\ &= (A \cup (\sim A \cap B)) \cap C \\ &= ((A \cup \sim A) \cap (A \cup B)) \cap C \\ &= (A \cup B) \cap C \end{aligned}

1.34 方法 1 直接证明法.

由定理 1.1 可知，空集是一切集合的子集. 于是，因为 \varnothing_1 是空集，所以 \varnothing_1 \subseteq \varnothing_2，又因为 \varnothing_2 是空集，所以 \varnothing_2 \subseteq \varnothing_1. 由集合相等的定义可知，\varnothing_1 = \varnothing_2.

方法 2 间接证明法.

若 \varnothing_1 \neq \varnothing_2，则 \exists x_0

x_0 \in \varnothing_1 \quad \text{且} \quad x_0 \notin \varnothing_2 \qquad \text{记为“①”}

或者，\exists y_0

y_0 \notin \varnothing_1 \quad \text{且} \quad y_0 \in \varnothing_2 \qquad \text{记为“②”}

在①中，x_0 \in \varnothing_1 与 \varnothing_1 为空集矛盾，在②下，y_0 \in \varnothing_2，这与 \varnothing_2 为空集矛盾. 所以必有 \varnothing_1 = \varnothing_2.

1.35 （1）归纳基础：当 n = 1 时，等式自然成立.

（2）归纳步骤：假设对 n(n \geqslant 1) 等式成立，要证对 n + 1 等式也成立. 事实上，

\begin{aligned} &\sim \left(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i\right) = \ \sim \left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1}\right) \\ &\quad = \ \sim \left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \cup \sim A_{n+1} \qquad (\text{德摩根律}) \\ &\quad = \left(\bigcup_{i=1}^{n} \sim A_i\right) \cup \sim A_{n+1} \qquad (\text{归纳假设}) \\ &\quad = \bigcup_{i=1}^{n+1} (\sim A_i) \end{aligned}

1.36 （1）归纳基础：当 n = 1 时，等式自然成立.

（2）归纳步骤：假设对 n(n \geqslant 1) 等式成立，要证对 n + 1 等式也成立. 事实上，

\begin{aligned} &\left(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i\right) \cup B \\ &\quad = \left(\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \cap A_{n+1}\right) \cup B \\ &\quad = \left(\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \cup B\right) \cap (A_{n+1} \cup B) && (\text{分配律}) \\ &\quad = \bigcap_{i=1}^{n} (A_i \cup B) \cap (A_{n+1} \cup B) && (\text{归纳假设}) \\ &\quad = \bigcap_{i=1}^{n+1} (A_i \cup B) \end{aligned}

1.37 （1）归纳基础：当 n = 1 时，1^2 = 1 = \dfrac{1 \times (1 + 1) \times (2 \times 1 + 1)}{6}，等式成立.

（2）归纳步骤：假设对 n(n \geqslant 1) 等式成立，即 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}，下面证明对 n + 1 等式也成立，即证明：

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n + 1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}

由归纳假设可得

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

于是

\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n + 1)^2 \\ &\quad = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 \\ &\quad = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)^2}{6} \\ &\quad = \dfrac{(n + 1)(2n^2 + n + 6n + 6)}{6} \\ &\quad = \dfrac{(n + 1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} \\ &\quad = \dfrac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6} \end{aligned}

1.38 （1）归纳基础：当 n = 1 时，1^3 = 1 = \left(\dfrac{1 \times (1 + 1)}{2}\right)^2，等式成立.

（2）归纳步骤：假设对 n(n \geqslant 1) 等式成立，即：

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2

下面证明对 n + 1 等式也成立，即证明：

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + (n + 1)^3 = \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2

由归纳假设，1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2，所以

\begin{aligned} &1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + (n + 1)^3 \\ &\quad = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 + (n + 1)^3 \\ &\quad = \dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} + (n + 1)^3 \\ &\quad = \dfrac{n^2(n + 1)^2 + 4(n + 1)^3}{4} \\ &\quad = \dfrac{(n + 1)^2(n^2 + 4n + 4)}{4} \\ &\quad = \dfrac{(n + 1)^2(n + 2)^2}{4} \\ &\quad = \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2 \end{aligned}

1.39 （1）归纳基础：当 n = 1 时，因为 3 \mid 0，所以 3 \mid (1^3 - 1)，故结论成立.

（2）归纳步骤：假设对 n(n \geqslant 1) 结论成立，即 3 \mid (n^3 - n)，下面证明对 n + 1 结论也成立，即证明：3 \mid ((n + 1)^3 - (n + 1))，而

\begin{aligned} &(n + 1)^3 - (n + 1) \\ &\quad = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 \\ &\quad = n^3 + 3n^2 + 2n \\ &\quad = n^3 - n + n + 3n^2 + 2n \\ &\quad = (n^3 - n) + 3n^2 + 3n \\ &\quad = (n^3 - n) + 3(n^2 + n) \end{aligned}

由归纳假设可知，3 \mid (n^3 - n)，又 3 \mid 3(n^2 + n)，所以，3 \mid ((n^3 - n) + 3(n^2 + n))，即 3 \mid ((n + 1)^3 - (n + 1)).

1.40 观察如下：

a_0 = 1
a_1 = 2a_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3
a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \times (2 \times 1 + 1) + 1 = 2^2 + 2 + 1 = 7
a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \times (2^2 + 2 + 1) + 1 = 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 15

猜想

a_n = 2^n + 2^{n-1} + \cdots + 2 + 1 = 2^{n+1} - 1, \quad n \in \mathbf{N}

证明 用归纳法证明

归纳基础 当 n = 0 时，a_0 = 2^1 - 1 = 1. 等式成立.

归纳步骤 假设对 n(n \geqslant 0) 等式成立，即 a_n = 2^{n+1} - 1. 于是，

a_{n+1} = 2a_n + 1 = 2(2^{n+1} - 1) + 1 = 2^{n+2} - 1

即对 n + 1 等式成立. 得证 a_n = 2^{n+1} - 1，n \in \mathbf{N}.

1.41 不难看出 A = \{3^n \mid n \in \mathbf{Z}^+\}.

1.42 （1），（2），（5）属于 B，（3），（4）不属于 B.

分析 B 不可能用列举法表示，要用描述法表示也十分困难，而递归定义能够很简捷、严格地给出它的定义. 由此可以看到递归定义是一种非常重要的定义方法，在后面将多次使用.

解读（原书此处与题干不一致）：教材 p36 习题 1.42(2) 的题干写的是 (x),(xy)\in B，而答案书 p19 重印该题时写成了 (x)\in A、(xy)\in A。此处按规范各自逐字保留原书原文，未作统一。