本节对应原书 PDF 第 18–26 页。定义、定理、公式、例题及其原解答逐字取自原书；解释性文字为 AI 通俗化改写；标有「解读」的引用块为 AI 补充的额外直觉。

1.2.1 集合及其表示法

集合是全书最底层的概念，本节先交代它的来源与记号约定，再给出两种表示方法。

集合论分为两种体系，一种是朴素集合论体系，也即康托集合论体系. 在这个体系中，康托从抽象原则出发，概括出：满足某条性质的个体放在一起组成集合. 在这个系统中存在某种逻辑隐患，罗素悖论指出了这种逻辑隐患. 所谓悖论是自相矛盾的命题. 罗素悖论说：“设 R 是一切不属于自身的集合（即不含自身作为元素的集合）所组成的集合”. 在朴素集合论中这样定义的 R 是合法的. 现在问：R 是否属于 R？若 R 属于 R，即 R 是 R 的元素，根据 R 的定义，R 不属于自身，即 R 不属于 R，矛盾；反之，若 R 不属于 R，即 R 不属于自身，根据 R 的定义，R 是 R 的元素，即 R 属于 R，也矛盾. 因此，这是一个悖论. 为了消除这种逻辑隐患，产生了公理集合论体系. 公理集合论属于数理逻辑范畴.

本书所介绍的集合论内容属于朴素集合论范畴，我们不给集合下严格的定义，但这丝毫不影响对集合这一基本概念的理解，也不影响集合已经成为数学中最为基本的概念的事实.

人们常用大写英文字母 A, B, C, \cdots 表示集合，并用 x \in A 表示 x 是集合 A 中的元素，读作“x 属于 A”，而用 x \notin A 表示 x 不是 A 中的元素，读作“x 不属于 A”. 只有有限个元素的集合称作有穷集或有限集，有无限个元素的集合称作无穷集.

一般来说，集合有两种表示法：列举法和描述元素性质法.

列举法 列出集合中的元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来. 例如，

A = \{a, b, c, d\}

B = \{ 书，办公桌，门，黑板 \}

C = \{1, \sqrt{2}, -5\}

D = \{ 北京，地球，宇宙 \}

等，都是用列出集合中全体元素来表示的集合.

通常有穷集可以用列出其所有元素的方式来表示，有的无穷集也能用列举法表示. 如，E = \{1, 3, 5, 7, \cdots\} 是由所有奇数组成的集合. 这时要求通过列出的元素能够看出属于集合的元素的规律.

描述元素性质法 用 P(x) 表示 x 具有性质 P，用 \{x \mid P(x)\} 表示具有性质 P 的全体元素组成的集合. 例如，

A_1 = \{x \mid x 是英文字母 \}

A_2 = \{x \mid x 是偶素数 \}

A_3 = \{x \mid x 是自然数 \}

等，都是用描述集合中元素性质表示的集合.

关于集合及表示法应注意以下几点：

（1）集合中的元素各不相同. 例如，\{1, 2, 3, 4\}，\{1, 1, 2, 3, 4\} 是相同的集合，它们都是含元素 1, 2, 3, 4 的集合，因而是一个集合，即 \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 1, 2, 3, 4\}.

（2）集合中的元素不规定次序. 例如，\{a, b, c\} = \{b, c, a\}.

（3）同一个集合可以有多种不同的表示方法. 例如，

A_1 = \{x \mid x 是英文字母 \} = \{a, b, \cdots, y, z\}

A_2 = \{x \mid x 是偶素数 \} = \{2\}

A_3 = \{ 北京，地球，宇宙 \}

\quad = \{x \mid x 是北京 \vee x 是地球 \vee x 是宇宙 \}

可见，A_1, A_2, A_3 都可以用两种表示法表示，但 A_3 最好用列举法表示. 实数集等只能用描述法表示. 下面给出一些常用集合的表示法：

\mathbf{N} = \{x \mid x 为自然数 \} = \{0, 1, 2, \cdots\}

\mathbf{Z} = \{x \mid x 为整数 \} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}

\mathbf{Z}^+ = \{x \mid x \in \mathbf{Z} \wedge x > 0\} = \{1, 2, 3, \cdots\}

\mathbf{Q} = \{x \mid x 为有理数 \}

\mathbf{Q}^* = \{x \mid x \in \mathbf{Q} \wedge x \neq 0\}

\mathbf{R} = \{x \mid x 为实数 \}

\mathbf{R}^* = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x \neq 0\}

\mathbf{C} = \{x \mid x 为复数 \}

区间 [a, b] = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge a \leqslant x \leqslant b\}

区间 (a, b) = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge a < x < b\}

解读：列举法与描述法描述的是同一个集合，只是"看的角度"不同。判断该用哪种，看元素能不能逐个写出来：\{2\} 这种元素极少的用列举法最清楚，而实数区间只能用描述法——写不完，也没法靠"看出规律"表达。

1.2.2 集合之间的包含与相等

有了集合，下一步是判断两个集合的关系。子集、相等、真子集这三个定义构成了后面所有集合恒等式证明的基础。

定义 1.1 设 A, B 为两个集合，若 B 中的元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包含 B，或 B 包含于 A，记作 B \subseteq A，并用 B \nsubseteq A 表示 B 不是 A 的子集.

设 A = \{a, b, c\}，B = \{a, b, c, d\}，C = \{a, c\}，则 A \subseteq A，A \subseteq B，B \nsubseteq B，C \subseteq A，C \subseteq B，C \subseteq C，而 B \nsubseteq A，B \nsubseteq C.

从定义不难看出，对于任意的集合 A，均有 A \subseteq A，对于任意的集合 A, B 与 C，若 A \subseteq B 且 B \subseteq C，则 A \subseteq C.

定义 1.2 设 A, B 为两个集合，若 A \subseteq B 且 B \subseteq A，则称 A 与 B 相等，记作 A = B. 而 A 不等于 B，记作 A \neq B.

设 A = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge (x^2 + x - 6 = 0)\}

B = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge (x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0)\}

C = \{-3, 2\}

由于 x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)，x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x + 3)(x - 2)(x + 2)，可知 A = C，而 B \neq C（当然，A \neq B）.

定义 1.3 设 A, B 为两个集合，若 A \subseteq B 且 A \neq B，则称 A 为 B 的真子集，记作 A \subset B.

易知 \mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q} \subset \mathbf{R}.

定义 1.4 称不拥有任何元素的集合为空集，记作 \varnothing.

定理 1.1 空集是一切集合的子集.

证明 只需证明，对于任意的集合 A，均有 \varnothing \subseteq A. 采用归谬法（见 1.3.1 节）证明. 否则，存在集合 A，有 \varnothing \nsubseteq A，即 \exists x_0（x_0 \in \varnothing \wedge x_0 \notin A），x_0 \in \varnothing 与空集定义相矛盾，所以定理 1.1 为真.

推论 空集是唯一的.

证明 采用归谬法. 假设空集不唯一，则存在 \varnothing_1，\varnothing_2 都是空集且 \varnothing_1 \neq \varnothing_2. 由定理 1.1 可知，\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2 \wedge \varnothing_2 \subseteq \varnothing_1，再由定义 1.2 可知，\varnothing_1 = \varnothing_2，这与 \varnothing_1 \neq \varnothing_2 相矛盾.

空集虽然是唯一的，但可以有各种不同的表示形式. 例如，

\{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x \neq x\} = \{x \mid x \in \mathbf{R} \wedge x^2 + 1 = 0\} = \varnothing

空集是一切集合的子集，从这个意义上讲，可以形象地说：\varnothing 是“最小”的集合. 有没有最大的集合？答案是否定的，但当讨论某些具体问题时，可以定义一个具有相对性的“最大”的集合，见下面定义.

定义 1.5 如果限定所讨论的集合都是某一集合 E 的子集，则称 E 为全集.

从定义可以看出，不同的实际问题可以定义出不同的全集，因而无统一的全集，这与空集的唯一性是完全不同的. 就是同一个实际问题，也可以给出不同的全集. 例如，讨论区间 (a, b) 上实数性质时，E_1 = (a, b)，E_2 = [a, b)，E_3 = (a, b]，E_4 = [a, b]，E_5 = (a, +\infty) \cdots 都可以当作全集，“最小”的是 E_1，可见就是对同一个问题，全集也是不唯一的.

解读：要证 A = B，标准做法是"两头夹"：先证 A \subseteq B，再证 B \subseteq A，缺一不可。而证 A \subseteq B 的通用套路是任取 x \in A，推它一定 \in B——这个模式在本节及全书反复出现。

1.2.3 集合的幂集

定义 1.6 设 A 为一个集合，称由 A 的所有子集组成的集合为 A 的幂集，记作 P(A)，即 P(A) = \{x \mid x \subseteq A\}.

称 k(k \geqslant 0) 个元素的集合为 k 元集，并用 |A| 表示 A 中元素个数.

设 |A| = n，求 A 的幂集：

求 0 元子集：\mathrm{C}_n^0 = 1 个，即 \varnothing；

求 1 元子集：\mathrm{C}_n^1 个；

求 2 元子集：\mathrm{C}_n^2 个；

\vdots

求 n 元子集：\mathrm{C}_n^n 个.

然后将 A 的所有子集集合在一起，即得 A 的幂集. 设 A = \{a, b, c\}，则

A 的 0 元子集：\varnothing；

A 的 1 元子集：\{a\}，\{b\}，\{c\}；

A 的 2 元子集：\{a, b\}，\{a, c\}，\{b, c\}；

A 的 3 元子集：A.

A 的幂集为 \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, A\}.

定理 1.2 设 A 为 n 元集，则 P(A) 有 2^n 个元素.

证明 |P(A)| = \mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \cdots + \mathrm{C}_n^n = (1 + 1)^n = 2^n.

解读：幂集的元素本身还是集合，所以 \varnothing \in P(A) 与 \varnothing \subseteq P(A) 同时成立——前者是"空集作为一个元素被收录"，后者是"空集作为子集被包含"。分清 \in 和 \subseteq 是这一节最常见的失分点。

1.2.4 集合的运算

定义 1.7 设 A, B 为两个集合，

（1）称由 A 与 B 的全体元素组成的集合为 A 与 B 的并集，记作 A \cup B，即 A \cup B = \{x \mid x \in A \vee x \in B\}；

（2）称由 A 与 B 的公共元素组成的集合为 A 与 B 的交集，记作 A \cap B，即 A \cap B = \{x \mid x \in A \wedge x \in B\}；

（3）称属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合为 B 对 A 的相对补集，记作 A - B，即 A - B = \{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}；

（4）称属于 A 而不属于 B，或属于 B 而不属于 A 的元素组成的集合为 A 与 B 的对称差集，记作 A \oplus B，即 A \oplus B = \{x \mid (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)\}；

（5）设 E 为全集，A \subseteq E，称 E - A 为 A 的绝对补集，记作 \sim A，即 \sim A = \{x \mid x \notin A\}.

设 A = \{a, b, c, d, e\}，B = \{a, c, e, g\}，则

A \cup B = \{a, b, c, d, e, g\}

A \cap B = \{a, c, e\}

A - B = \{b, d\}

B - A = \{g\}

A \oplus B = \{b, d, g\}

取全集 E = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}，则

\sim A = \{f, g, h\}

\sim B = \{b, d, f, h\}

文氏图：集合的四种运算

例 1.1 设 E 是某中学高中一年级学生集合，A, B 是 E 的子集，且 A = \{x \mid x 是男生 \}，B = \{x \mid x 是校足球队员 \}，试用描述法表示 A \cup B，A \cap B，A - B，B - A，A \oplus B，\sim A，\sim B.

解 A \cup B = \{x \mid x 是男生或是足球队员 \}

A \cap B = \{x \mid x 是男生并且是足球队员 \}

\quad = \{x \mid x 是男生中的足球队员 \}

A - B = \{x \mid x 是男生，但不是足球队员 \}

\quad = \{x \mid x 是非足球队员的男生 \}

B - A = \{x \mid x 是足球队员，但不是男生 \}

\quad = \{x \mid x 是女生中的足球队员 \}

A \oplus B = \{x \mid x 是非足球队员中的男生或是女生中的足球队员 \}

\sim A = \{x \mid x 是女生 \}

\sim B = \{x \mid x 不是足球队员 \}

定义 1.8 设 A, B 为两个集合，若 A \cap B = \varnothing，则称 A 与 B 是不交的.

设 A = \{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 为奇数 \}，B = \{x \mid x \in \mathbf{N} \wedge x 为偶数 \}，则 A 与 B 是不交的. \varnothing 与任何集合都是不交的.

集合之间的关系与运算结果可以用文氏图直观地表示. 文氏图的构造如下：

用一个矩形内部的点表示全集 E，在矩形内用闭曲线（可以是多条，也可以是矩形的边界）围成的区域表示 E 的子集.

设 A, B 均为全集 E 的子集，图 1.1 中给出了 A \cup B，A \cap B，A - B，B - A，A \oplus B，\sim A 的文氏图.

原书图1.1

图 1.1

集合的并和交均可以推广到多个或无穷多个集合上. 设 A_1, A_2, \cdots, A_n 为 n 个集合，它们的并集简记为 \bigcup_{i=1}^{n} A_i，即

\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x \mid x \in A_1 \vee x \in A_2 \vee \cdots \vee x \in A_n\}

它们的交简记为 \bigcap_{i=1}^{n} A_i，即

\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x \mid x \in A_1 \wedge x \in A_2 \wedge \cdots \wedge x \in A_n\}

对于无穷个集合，有

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots
\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots

例 1.2 设 A_i = \left[0, \dfrac{1}{i}\right)，B_i = (0, i)，i = 1, 2, \cdots，求：

（1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i；\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i.

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i；\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i.

（3）\bigcup_{i=1}^{n} B_i；\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i.

（4）\bigcap_{i=1}^{n} B_i；\bigcap_{i=1}^{\infty} B_i.

解 （1）\bigcup_{i=1}^{n} A_i = [0, 1)；\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = [0, 1).

（2）\bigcap_{i=1}^{n} A_i = \left[0, \dfrac{1}{n}\right)；\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = \{0\}.

（3）\bigcup_{i=1}^{n} B_i = (0, n)；\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i = (0, +\infty).

（4）\bigcap_{i=1}^{n} B_i = (0, 1)；\bigcap_{i=1}^{\infty} B_i = (0, 1).

例 1.3 设 E = \{x \mid x 是北京某大学一年级学生 \}，A, B, C, D 是 E 的子集：

A = \{x \mid x 是北京人 \}

B = \{x \mid x 是走读生 \}

C = \{x \mid x 是数学系学生 \}

D = \{x \mid x 喜欢听音乐 \}

试描述下列各集合中大学生的特征.

（1）(A \cup D) \cap \sim C；

（2）\sim A \cap B；

（3）(A - B) \cap D；

（4）\sim D \cap \sim B.

解 （1）(A \cup D) \cap \sim C = \{x \mid x 是北京人或喜欢听音乐，但不是数学系学生 \}；

（2）\sim A \cap B = \{x \mid x 是外地人并且是走读生 \}；

（3）(A - B) \cap D = \{x \mid x 是北京的住校生，并且喜欢听音乐 \}；

（4）\sim D \cap \sim B = \{x \mid x 是不喜欢听音乐的住校生 \}.

解读：\sim A 这种"绝对补"必须相对于某个全集才有意义，换全集结果就变了；而 A - B 是相对补，不依赖全集。所以在计算前先确认全集 E 是什么，是这类题目的第一步。

1.2.5 基本集合恒等式及其应用

上节给出了集合之间的基本运算，这些运算都满足一定的运算规律，下面列出常用的基本集合恒等式. 这里设 E 为全集，A, B, C 等为 E 的子集.

（1）幂等律 \quad A \cup A = A；A \cap A = A.

（2）交换律 \quad A \cup B = B \cup A；A \cap B = B \cap A.

（3）结合律 \quad (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)；

\qquad\qquad\quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C).

（4）分配律 \quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)；

\qquad\qquad\quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).

（5）德摩根律

\quad 绝对形式 \quad \sim (A \cup B) = \ \sim A \cap \sim B；

\qquad\qquad\quad \sim (A \cap B) = \ \sim A \cup \sim B.

\quad 相对形式 \quad A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)；

\qquad\qquad\quad A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C).

（6）吸收律 \quad A \cup (A \cap B) = A；A \cap (A \cup B) = A.

（7）零律 \quad A \cup E = E；A \cap \varnothing = \varnothing.

（8）同一律 \quad A \cup \varnothing = A；A \cap E = A.

（9）排中律 \quad A \cup \sim A = E.

（10）矛盾律 \quad A \cap \sim A = \varnothing.

（11）余补律 \quad \sim \varnothing = E；\sim E = \varnothing.

（12）双重否定律 \qquad \sim (\sim A) = A.

（13）补交转换律 \qquad A - B = A \cap \sim B.

（14）关于对称差运算有以下恒等式：

① 交换律 \qquad A \oplus B = B \oplus A.

② 结合律 \qquad A \oplus (B \oplus C) = (A \oplus B) \oplus C.

③ \cap 对 \oplus 的分配律 \qquad A \cap (B \oplus C) = (A \cap B) \oplus (A \cap C).

④ A \oplus \varnothing = A；A \oplus E = \ \sim A.

⑤ A \oplus A = \varnothing；A \oplus \sim A = E.

此外，还有下述常用性质：

（15）A \subseteq A \cup B；B \subseteq A \cup B.

（16）A \cap B \subseteq A；A \cap B \subseteq B.

（17）A - B \subseteq A.

（18）A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A - B = \varnothing.

（19）A \oplus B = A \oplus C \Rightarrow A = B，即 \oplus 有消去律.

下面挑选部分基本集合恒等式和性质给予证明，其余的请读者自行证明.

根据定义，要证明 A \subseteq B，只需证明 \forall x，x \in A \Rightarrow x \in B；要证明 A = B，只需证明 A \subseteq B \wedge B \subseteq A，即 \forall x，x \in A \Rightarrow x \in B \wedge x \in B \Rightarrow x \in A，亦即 \forall x，x \in A \Leftrightarrow x \in B.

例 1.4 证明：对于任意的集合 A, B，有

（1）吸收律 \quad A \cup (A \cap B) = A.

（2）同一律 \quad A \cap E = A.

（3）矛盾律 \quad A \cap \sim A = \varnothing.

证明 （1）显然，A \subseteq A \cup (A \cap B).

\forall x，若 x \in A \cup (A \cap B)，则 x \in A 或 x \in A \cap B. 而当 x \in A \cap B 时，有 x \in A 且 x \in B，自然有 x \in A. 因此总有 x \in A. 故 A \cup (A \cap B) \subseteq A. 得证 A \cup (A \cap B) = A.

（2）显然，A \cap E \subseteq A.

\forall x，若 x \in A，因为 E 是全集，恒有 x \in E，从而 x \in A 且 x \in E，即 x \in A \cap E. 故 A \subseteq A \cap E. 得证 A \cap E = A.

（3）用反证法. 假设不然，存在 x \in A \cap \sim A. 于是，x \in A 且 x \in \ \sim A，即 x \in A 且 x \notin A，矛盾. 所以，A \cap \sim A = \varnothing.

例 1.5 证明：若 A \subseteq B，则 P(A) \subseteq P(B).

证明 \forall x，若 x \in P(A)，根据幂集的定义，有 x \subseteq A. 已知 A \subseteq B，因而有 x \subseteq B，从而 x \in P(B). 得证 P(A) \subseteq P(B).

例 1.6 证明：A \cup B = B \Leftrightarrow A \subseteq B.

证明 “\Rightarrow” \forall x，x \in A \Rightarrow x \in A \cup B

\qquad\qquad\qquad \Rightarrow x \in B \qquad（因为 A \cup B = B）

得证 A \subseteq B.

“\Leftarrow”显然 B \subseteq A \cup B.

\forall x，因为 A \subseteq B，有 x \in A \Rightarrow x \in B. 于是，x \in A \cup B \Rightarrow x \in A 或 x \in B \Rightarrow x \in B 或 x \in B，即 x \in B. 从而 A \cup B \subseteq B. 得证 A \cup B = B.

证明集合等式和性质的另一种方法是集合演算，即利用已知的集合等式（最常用的是基本集合恒等式）和性质，通过演算推出要证明的结论.

例 1.7 假设已经证明基本恒等式（1）～（14），试证明关于对称差的恒等式：

（1）\cap 对 \oplus 的分配律 A \cap (B \oplus C) = (A \cap B) \oplus (A \cap C).

（2）A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B).

证明 （1）证明 从右边开始演算：

\begin{aligned} \text{右} &= (A \cap B) \oplus (A \cap C) \\ &= ((A \cap B) - (A \cap C)) \cup ((A \cap C) - (A \cap B)) && (\text{对称差定义}) \\ &= ((A \cap B) \cap \sim (A \cap C)) \cup ((A \cap C) \cap \sim (A \cap B)) && (\text{补交转换律}) \\ &= ((A \cap B) \cap (\sim A \cup \sim C)) \cup ((A \cap C) \cap (\sim A \cup \sim B)) && (\text{德摩根律}) \\ &= ((A \cap B \cap \sim A) \cup (A \cap B \cap \sim C)) \cup ((A \cap C \cap \sim A) \\ &\quad \cup (A \cap C \cap \sim B)) && (\text{分配律}) \\ &= (A \cap B \cap \sim C) \cup (A \cap C \cap \sim B) && (\text{矛盾律、同一律}) \\ &= A \cap ((B \cap \sim C) \cup (C \cap \sim B)) && (\text{分配律}) \\ &= A \cap ((B - C) \cup (C - B)) && (\text{补交转换律}) \\ &= A \cap (B \oplus C) = \text{左} \end{aligned}

（2）

\begin{aligned} A \oplus B &= (A - B) \cup (B - A) && (\text{定义}) \\ &= (A \cap \sim B) \cup (B \cap \sim A) && (\text{补交转换律}) \\ &= ((A \cap \sim B) \cup B) \cap ((A \cap \sim B) \cup \sim A) && (\cup \text{对} \cap \text{分配律}) \\ &= ((A \cup B) \cap (\sim B \cup B)) \cap ((A \cup \sim A) \cap (\sim B \cup \sim A)) && (\cup \text{对} \cap \text{分配律}) \\ &= (A \cup B) \cap (\sim A \cup \sim B) && (\text{排中律，同一律}) \\ &= (A \cup B) \cap (\sim (A \cap B)) && (\text{德摩根律}) \\ &= (A \cup B) - (A \cap B) && (\text{补交转换律}) \end{aligned}

注意：\cap 对 \oplus 有分配律，但 \cup 对 \oplus 没有分配律，即

A \cup (B \oplus C) \neq (A \cup B) \oplus (A \cup C)

反例如下：设全集 E = \{a, b, c, d, e, f\}，A = \{a, b, c\}，B = \{b, c, d\}，C = \{c, d, e\}，则

A \cup (B \oplus C) = \{a, b, c\} \cup \{b, e\} = \{a, b, c, e\}

而

(A \cup B) \oplus (A \cup C) = \{a, b, c, d\} \oplus \{a, b, c, d, e\} = \{e\}

两者不相等.

其实，(A \cup B) \oplus (A \cup C) = (B \oplus C) - A.

证明

\begin{aligned} &(A \cup B) \oplus (A \cup C) \\ &= ((A \cup B) - (A \cup C)) \cup ((A \cup C) - (A \cup B)) \\ &= ((A \cup B) \cap \sim A \cap \sim C) \cup ((A \cup C) \cap \sim A \cap \sim B) \\ &= (B \cap \sim A \cap \sim C) \cup (C \cap \sim A \cap \sim B) \\ &= \sim A \cap ((B - C) \cup (C - B)) \\ &= (B \oplus C) - A \end{aligned}

例 1.8 利用关于对称差的恒等式①～⑤证明：\oplus 满足消去律，即

A \oplus B = A \oplus C \Rightarrow B = C

证明 由 A \oplus B = A \oplus C，有

\begin{aligned} A \oplus (A \oplus B) &= A \oplus (A \oplus C) \\ (A \oplus A) \oplus B &= (A \oplus A) \oplus C & & (\text{②}) \\ \varnothing \oplus B &= \varnothing \oplus C & & (\text{⑤}) \\ B \oplus \varnothing &= C \oplus \varnothing & & (\text{①}) \\ B &= C & & (\text{④}) \end{aligned}

例 1.9 利用基本集合恒等式化简

((A \cup B \cup C) \cap (A \cup B)) - ((A \cup (B - C)) \cap A)

解 \begin{aligned} &((A \cup B \cup C) \cap (A \cup B)) - ((A \cup (B - C)) \cap A) \\ &\quad = (A \cup B) - A & & (\text{交换律，吸收律}) \\ &\quad = (A \cup B) \cap \sim A & & (\text{补交转换律}) \\ &\quad = (A \cap \sim A) \cup (B \cap \sim A) & & (\text{分配律}) \\ &\quad = \varnothing \cup (B \cap \sim A) & & (\text{矛盾律}) \\ &\quad = B \cap \sim A & & (\text{交换律，同一律}) \\ &\quad = B - A & & (\text{补交转换律}) \end{aligned}

解读：集合恒等式的证明有两条路——"元素法"（从 x \in 左边出发推 x \in 右边）和"集合演算法"（把左边逐步化成右边，每一步注明用了哪条恒等式）。例 1.4～1.6 走的是第一条路，例 1.7～1.9 走的是第二条路。演算法的每一行都必须能指名道姓地说出依据，否则就是在"猜"。