本节对应原书 PDF 第 345–350 页（习题题干）与答案书 PDF 第 242–249 页（解答）. 题干与答案书的原解答逐字保留，属原文层；标有「解读」的引用块与 :::details 折叠块内为 AI 补充的内容。

习题题干

习 题

14.1 (1) 设 S 为 3 元集,S 上可以定义多少个不同的二元运算和一元运算? 其中有多少个二元运算是可交换的? 有多少个二元运算是幂等的? 有多少个二元运算既不是可

交换的又不是幂等的?

(2) 如果 S 为 n 元集合,上述问题的结果是什么?

14.2 以下集合和运算是否构成代数系统? 如果构成,说明该系统是否满足交换律、结合律? 求出该运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.

(1) P(B) 关于对称差运算 \oplus,其中 P(B) 为幂集.

(2) 设 n 为给定正整数,nZ 关于普通乘法运算.

(3) A=\{a,b,c\},* 运算定义如表 14.14 所示.

14.3 确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭,如果是,说明相关运算所具有的性质(指交换律、结合律、幂等律、消去律、分配律、吸收律)和特异元素(单位元、零元、逆元).

(1) A=\mathbf{Z},x*y=x+y-2xy, \forall x,y\in A.

(2) A=\mathbf{R},x*y=|x-y|, \forall x,y\in A.

(3) A=P(\{a,b\}),运算为集合的交.

(4) A 为 n 阶实可逆矩阵的集合,两个运算分别为矩阵加法和乘法.

14.4 以下集合和运算是否构成代数系统? 如果构成,说明该系统是否满足交换律、结合律? 求出该运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.

(1) 有理数集 \mathbf{Q},x*y=(x+y)/2.

(2) 自然数集 \mathbf{N},x*y=2^{xy}.

(3) 正整数集,x*y=\gcd(x,y),即求 x 与 y 的最大公约数.

(4) S^S,其中 S 为任意非空集合,运算为函数合成.

14.5 判断下列命题的真假.

(1) A=\{x\mid x\in\mathbf{N}\text{ 且 }\gcd(x,5)=1\},则 \langle A,+\rangle 构成代数系统,+ 为普通加法.

(2) \forall x,y\in\mathbf{R}, x*y=|x-y|,则 0 为 \langle\mathbf{R},*\rangle 的单位元.

(3) \forall x,y\in\mathbf{R}, x*y=x+y+xy,则 \forall x\in\mathbf{R}, x^{-1}=-x/(1+x).

(4) A=\{1,2,\cdots,10\}, \forall x,y\in A, x*y=\gcd(x,y),则 \langle A,*\rangle 是半群.

(5) 任何代数系统都存在子代数.

(6) Klein 四元群的同态像一定是 Abel 群.

14.6 设 A=\{1,2\},B 是 A 上的等价关系的集合.

(1) 列出 B 的元素.

(2) 给出代数系统 V=\langle B,\cap\rangle 的运算表.

(3) 求出 V 的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.

(4) 说明 V 是否为半群、独异点和群.

表 14.14

*abc
abbb
bbbb
cbba

表 14.15

*abcd
aabcd
bbadc
ccdab
dddbd

14.7 设集合 A=\{a,b,c,d\} 上的 * 运算如表 14.15 所示.

(1) 说明运算是否可结合? 为什么?

(2) 求单位元与零元.

14.8 设 A=\{a,b,c\},构造 A 上的二元运算 * 使得 a*b=c,c*b=b,且 * 运算是幂等的、可交换的,给出关于 * 运算的一个运算表,说明它是否可结合,为什么?

14.9 设 A=\{a,b,c\},\circ 是 A 上的二元运算,在 V=\langle A,\circ\rangle 的运算表中,除了 a\circ b=a 以外,其余运算结果都等于 b.试给出 V=\langle A,\circ\rangle 的两个非恒等映射的自同态.

14.10 设 A=\{a,b,c\},\circ 为 A 上的二元运算,且 \forall x,y\in A,x\circ y=c.

(1) 找出 A 上所有的双射函数.

(2) 说明这些函数是否为 \langle A,\circ\rangle 的自同构,为什么?

14.11 证明定理 14.5.

14.12 设群 G 为群,x,y\in G,x\neq e,|y|=2,且 yxy^{-1}=x^2,求 |x|.

14.13 若群 G 中只有一个 2 阶元,则这个 2 阶元一定与 G 中所有元素可交换.

14.14 设 G 是 n 阶非交换群,n\geqslant 3,证明 G 中存在非单位元 a 与 b,a\neq b,且 ab=ba.

14.15 设 G 为群,H\leqslant G,证明如果 x\in G 且 xH=\{xh\mid h\in H\} 是 G 的子群,则 x\in H.

14.16 设 G 含有以下 8 个元素:

\pm\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad \pm\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix},\quad \pm\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix},\quad \pm\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}

找出 G 的全部子群,并画出 G 的子群格.

14.17 设群 G=\langle M_2(\mathbf{R}),+\rangle,H=\{A\mid A\in M_2(\mathbf{R})\text{,且 }A=A'\},其中 A' 表示 A 的转置,证明 H 是 G 的子群.

14.18 设 G 为群,a\in G.令 f:G\rightarrow G,f(x)=axa^{-1},\forall x\in G,证明 f 是 G 的自同构.

14.19 设 G 与 G' 都是群,f 是群 G 到 G' 的同态映射,a\in G.

(1) 证明若 a 的阶是有限的,则 f(a) 的阶也是有限的,且 |f(a)| 整除 |a|.

(2) 如果 f(a) 的阶是有限的,那么 a 的阶一定是有限的吗? 证明你的结论.

14.20 设 f 是群 G_1 到 G_2 的同态映射,H 是 G_1 的子群,证明 f(H) 是 G_2 的子群.

14.21 如果 G 为非 Abel 群,证明 G 的所有自同构构成的群 \mathrm{Aut}G 至少含有 2 个元素.

14.22 求循环群 (Z_{16},\oplus) 的所有生成元和子群.

14.23 设 m 整除 n,证明 n 阶循环群 G=\langle a\rangle 中的方程 x^m=e 恰有 m 个解.

14.24 设多项式 f=(x_1+x_2)(x_3+x_4),找出使得 f 保持不变的所有下标的置换,这些置换是否构成 S_4 的子群?

14.25 证明在 S_n 中恰含有 k 个轮换的 n 元置换个数是第一类 Stirling 数 \begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}.

14.26 G 是 Abel 群,\mathrm{End}G 是 G 的所有自同态的集合,\forall f,g\in\mathrm{End}G 定义 + 和 \cdot 运算：\forall a\in G,

(f+g)(a)=f(a)g(a),\qquad (f\cdot g)(a)=g(f(a))

证明 \mathrm{End}G 关于 + 和 \cdot 构成一个环.

14.27 R 为环,a\in R,R_1=\{x\in R,xa=0\},证明 R_1 是 R 的子环.

14.28 证明有理数域的自同构只有恒等自同构.

14.29 若环 R 适合：\forall a\in R,a^2=a,证明

(1) \forall a\in R,a+a=0.

(2) R 是交换环.

14.30 R 为含幺环,a,b\in R,且 a^{-1},b^{-1}\in R,证明 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

14.31 判断下述命题的真假.

(1) \{1/2,1,2\} 对于普通乘法构成群.

(2) 整环的积代数不一定是整环.

(3) 2^n 元格都是布尔格.

(4) 在有补格中,\forall a\in L,求 a 的补是 L 的一元运算.

14.32 设 G=\langle Z_{18},\oplus\rangle 是模 18 的整数加群.

(1) 写出 G 的所有子群.

(2) 画出子群格 \langle L(G),\subseteq\rangle 的哈斯图.

(3) 说明该格是否为分配格、有补格及布尔代数.

14.33 设 A=\{1,2,5,10,11,22,55,110\},A 关于整除关系构成偏序集.画出该偏序集的哈斯图.说明该偏序集构成哪一种格?

14.34 设 G=\langle Z_7,\oplus\rangle.

(1) 给出 G 的自同构群 \mathrm{Aut}G 的运算表.

(2) 画出 \mathrm{Aut}G 的子群格 L 的哈斯图.

(3) 说明这个格是否为分配格、有补格、布尔格.

14.35 设 A=\{2,3,\cdots,15\},\leqslant 为 A 上的偏序,\phi(n) 是欧拉函数,\forall x,y\in A,

x\leqslant y\Leftrightarrow\phi(x)<\phi(y)\quad\text{或}\quad(\phi(x)=\phi(y)\text{ 且 }x\leqslant y)

(1) 画出 \langle A,\leqslant\rangle 的哈斯图.

(2) \langle A,\leqslant\rangle 是否为格? 如果是,说明这个格是否为分配格、有补格和布尔格.

14.36 设 A_t=\{x\mid x\in\mathbf{R}\text{ 且 }K_t\leqslant x\leqslant t+1\},其中 K_0=K_2=0,K_1=K_3=-1,K_4=-2.令 S=\{A_t\mid t=0,1,2,3,4\}.

(1) 画出偏序集 \langle S,\subseteq\rangle 的哈斯图.求它的极大、极小、最大、最小元.

(2) 该偏序集构成什么格?

14.37 设格 L=\langle\mathbf{Z}^+,\vee,\wedge\rangle,其中 \vee,\wedge 分别为求两个数的最小公倍数和最大公约数的运算.判断下列集合是否为 L 的子格?

(1) A=\{1,2,3,9,12,72\}.

(2) B=\{1,2,3,12,18\}.

(3) C=\{5,5^2,5^3,\cdots,5^n\}.

14.38 在同构的意义下给出全部 5 元格的图形,并指出哪些是分配格、有界格、有补格及布尔代数.

14.39 求图 14.9 中格 L 的所有子格.

原书图14.9

图 14.9

14.40 证明定理 14.13(3),(4).

14.41 设 A=\{1,2\},以 A 中全体元素作为群的元素,能够构成多少个不同构的群,以 A 中全体元素作为格的元素能构成多少个不同构的格?

14.42 设 \langle B,\wedge,\vee,',0,1\rangle 是布尔代数,证明对于 B 中任意元素 a,b 有以下命题成立.

(1) a\vee(a'\wedge b)=a\vee b.

(2) a\wedge b'=0\Leftrightarrow a'\vee b=1\Leftrightarrow a\leqslant b.

14.43 判断下述代数系统是否为格? 是不是布尔代数?

(1) S=\{1,3,4,12\}；任给 x,y\in S, x*y=\mathrm{lcm}(x,y), x*y=\gcd(x,y),其中 lcm 是求最小公倍数,gcd 是求最大公约数.

(2) S=\{0,1,2\},\circ 是模 3 加法,* 是模 3 乘法.

(3) S=\{0,1,\cdots,n\},其中 n\geqslant 2.任给 x,y\in S, x\circ y=\max(x,y), x*y=\min(x,y).

习题解答与分析

以下解答逐字取自答案书（PDF 物理页 p242–p249），属原文层，不放入折叠块。

14.1 （1）3 元集合上有 3^{3^2}=3^9=19683 个二元运算，3^3=27 个一元运算.其中可交换的运算有 3^6=729 个，幂等的运算有 3^6=729 个，交换并且幂等的运算有 3^3=27 个，不可交换、也不幂等的运算有

19683-(729+729)+27=18252(个)

（2）设 A 为 n 元集，有 n^{n^2} 个不同的一元运算，A 上的每个二元运算都对应了一个运算表.运算表中有 n\times n 个位置，每个位置可以有 n 种可能的取值，根据乘法法则，有 n^{n^2} 个不同的二元运算.对于可交换的运算，运算表上、下三角内的元素是对称分布的，因此主对角线上有 n 个位置，上三角中有 \dfrac{n^2-n}{2} 个位置，总计 \dfrac{n^2+n}{2} 个位置，每个位置可能有 n 种取值，因此可交换的运算有 n^{\frac{n^2+n}{2}} 个.类似的分析可知幂等的运算有 n^{n^2-n} 个，交换并且幂等的运算有 n^{\frac{n^2-n}{2}} 个，既不交换也不幂等的运算有 n^{n^2}-(n^{\frac{n^2+n}{2}}+n^{n^2-n})+n^{\frac{n^2-n}{2}} 个.

14.2 （1）构成代数系统.满足交换律、结合律.单位元为 \varnothing,无零元,\forall x\in P(B), X^{-1}=X.

（2）构成代数系统.满足交换律、结合律.0 为零元.仅当 n=1 时存在单位元 1，此时有 1^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1.

（3）构成代数系统.满足交换律、结合律.零元为 b,无单位元和可逆元.

14.3 （1）封闭，满足交换律、结合律、消去律；单位元 0,0^{-1}=0,1^{-1}=1.

（2）封闭，满足交换律.

（3）封闭，满足交换律、结合律、幂等律；单位元为 \{a,b\}，零元为 \varnothing，\{a,b\}^{-1}=\{a,b\}.

（4）乘法封闭，加法不封闭；乘法满足结合律、消去律；单位元为 n 阶单位矩阵，每个元素的逆元是逆矩阵.

14.4 （1）构成，满足交换律，没有结合律，无单位元、零元和可逆元.

（2）构成，满足交换律，没有结合律，无单位元、零元和可逆元.

（3）构成，满足交换律、结合律，无单位元和可逆元，零元是 1.

（4）构成，有结合律，仅当 S 为单元集时满足交换律，单位元为恒等函数，除了 S 为单元集外不存在零元.双射函数有逆元，即反函数.

14.5 （1）\times　（2）\times　（3）\times　（4）\surd　（5）\surd　（6）\surd

说明：（1）中运算不封闭，例如 2,3 都是 A 中元素，但是 2+3=5 不是 A 中元素.

（2）0 不是单位元，因为当 x 为负数时，x*0\neq x.

（3）当 x\neq-1 时，x 才存在逆元.

（4）求最大公约数运算满足结合律.

（5）该代数系统自身是平凡的子代数.

（6）同态映射保持交换性.

14.6 （1）2 元集合上只有 2 种划分，因此只有 2 个等价关系，即 B=\{I_A,E_A\}.

（2）V 的运算表如表 14.5 所示.

（3）V 的单位元是 E_A,零元是 I_A,可逆元素只有 E_A,E_A^{-1}=E_A.

（4）V 为半群、独异点，不是群.

14.7 （1）因为 (a*b)*c=a*c=c,b*(b*c)=b*d=d，不满足结合律.

（2）单位元 a,零元 d.

14.8 根据已知条件构造运算表如表 14.6 所示，其中 x 可以从 a,b,c 中任意选定一个，所以有 3 种答案.

表 14.5

\capI_AE_A
I_AI_AI_A
E_AI_AE_A

表 14.6

*abc
aacx
bcbb
cxbc

待核：表 14.6 右上角与左下角的符号在原图中为不明记号（扫描噪点），按题意「x 可以从 a,b,c 中任意选定一个」记为 x.

运算不可结合，因为 (a*b)*b=c*b=b,a*(b*b)=a*b=c.

14.9 设 f 为同态，于是由 f(b)f(b)=f(bb)=f(b),知道 f(b) 是幂等元.而该运算表中只有 b 是幂等元，于是得到 f(b)=b.假设 f(c)=a,那么就有

b=f(b)=f(cb)=f(c)f(b)=ab=a

矛盾，于是 f(c)\neq a.假设 f(a)=c,那么就有

c=f(a)=f(ab)=f(a)f(b)=cb=b

也产生矛盾.综合上述结果知道同态映射 f 满足 f(b)=b,f(c)\neq a,f(a)\neq c.因此，可能的赋值是：

f(a)=a,b;\quad f(b)=b;\quad f(c)=b,c

从而得到 4 个函数：

f_1=\{\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,b\rangle\},\quad f_2=\{\langle a,a\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,c\rangle\}
f_3=\{\langle a,b\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,b\rangle\},\quad f_4=\{\langle a,b\rangle,\langle b,b\rangle,\langle c,c\rangle\}

但是，由于

f_1(ac)=f_1(b)=b,\quad f_1(a)f_1(c)=ab=a

于是，只有 f_3 和 f_4 满足要求.

14.10 （1）采用置换的表示，双射函数为：f_1=(a),f_2=(bc),f_3=(ac),f_4=(ab),f_5=(abc),f_6=(acb).

（2）只有 f_1 和 f_4 为自同构，它们能满足同态映射条件，将零元 c 映到零元 c，即 f(c)=c.

14.11 设 G 为群，任取 a,b,c\in G,则

ab=ac\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\Rightarrow(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\Rightarrow eb=ec\Rightarrow b=c

同理可证 ba=ca\Rightarrow b=c.

14.12 由已知得 x^2y=yx,于是

(yxy^{-1})(yxy^{-1})=x^2\Rightarrow yx^2y^{-1}=x^2

由于 y 是 2 阶元，因此 y=y^{-1},再利用 x^2y=yx 代入上式得

x^4=yx^2y^{-1}=yx^2y=xyx^2=y(yx)x=yyx^2=x^2

由消去律得 x^2=e,即 |x|=1 或者 3.由于 x\neq e,因此 |x|=3.

14.13 设 2 阶元为 a,任取 G 中元素 x,根据主教材例 14.17 可知,xax^{-1} 也是 2 阶元.由于只有一个 2 阶元，于是 a=xax^{-1}，从而得到 ax=xa.

14.14 假如 \forall x\in G,都有 x^2=e,那么 \forall x,y\in G

xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx

与 G 是非交换群矛盾.因此 G 中存在非单位元 a,a^2\neq e,即 a\neq a^{-1},令 b=a^{-1} 即可.

14.15 由于 xH 是 G 的子群，故 e\in xH；即存在 h\in H 使得 xh=e,从而 x=h^{-1}.由于 H 是群，因此 x\in H.

14.16 令

A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}

于是得到运算表如表 14.7 所示.

表 14.7

A-AB-BC-CD-D
AA-AB-BC-CD-D
-A-AA-BB-CC-DD
BB-B-AAD-D-CC
-B-BBA-A-DDC-C
CC-C-DD-AAB-B
-C-CCD-DA-A-BB
DD-DC-C-BB-AA
-D-DD-CCB-BA-A

G 的子群有

G,\quad \langle A\rangle=\{A\},\quad \langle-A\rangle=\{A,-A\}
\langle B\rangle=\{A,-A,B,-B\},\quad \langle C\rangle=\{A,-A,C,-C\},\quad \langle D\rangle=\{A,-A,D,-D\}

子群格如图 14.2 所示.

答案书图14.2

图 14.2

14.17 显然 H 非空.

\forall\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}d&e\\e&f\end{pmatrix}\in H
\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}d&e\\e&f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-d&b-e\\b-e&c-f\end{pmatrix}\in H

根据子群判定定理 H 是子群.

14.18 首先证明 f 为双射.假设 f(x)=f(y),那么 axa^{-1}=aya^{-1},由消去律得到 x=y,因此 f 是单射的.任取 y\in G,f(a^{-1}ya)=aa^{-1}yaa^{-1}=y,于是 f 是满射的.下面证明 f 为同态.任取 x,y\in G,则

f(xy)=axya^{-1}=(axa^{-1})(aya^{-1})=f(x)f(y)

14.19 （1）证明：设 |a|=r,则

(f(a))^r=f(a^r)=f(e)=e'

其中 e' 为 G' 的单位元.这就证明了 f(a) 的阶有限，且 |f(a)| 整除 |a|.

（2）若 f(a) 的阶有限，a 的阶不一定有限.考虑整数加群 G=\langle\mathbf{Z},+\rangle,模 3 加群 G'=\langle Z_3,\oplus\rangle.令 f:\mathbf{Z}\rightarrow Z_3,且 f(a)=(a)\bmod 3,那么 f 是同态映射，在整数加群中 1 的阶不存在，但是在模 3 加群中，|f(1)|=3.

14.20 因为 H 非空，因此 f(H) 非空.任取 x,y\in f(H),存在 a,b\in H 使得 f(a)=x, f(b)=y.由于 H 是子群，ab^{-1}\in H,于是

xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in f(H)

根据子群判定定理，f(H) 是 G_2 的子群.

14.21 G 为非 Abel 群，必存在 a,b\in G,满足 ab\neq ba.令 f:G\rightarrow G,f(x)=a^{-1}xa,则 \forall x,y\in G 有

f(xy)=a^{-1}(xy)a=(a^{-1}xa)(a^{-1}ya)=f(x)f(y)

这就证明了 f 为同态映射.由

f(x)=f(y)\Rightarrow a^{-1}xa=a^{-1}ya\Rightarrow x=y

证明了 f 为单射.且对任意 c\in G,有 f(aca^{-1})=c,于是 f 为满射.从而证明了 f 为同构.

如果 \mathrm{Aut}G 只含有 1 个元素，即恒等映射.那么对于所有的 x\in G,f(x)=a^{-1}xa=x,即 xa=ax,从而得到 ab=ba,与 ab\neq ba 矛盾.

14.22 生成元为 1,3,5,7,9,11,13,15.子群有 \langle0\rangle,\langle1\rangle,\langle2\rangle,\langle4\rangle,\langle8\rangle.

14.23 设 x=a^t 是解，0\leqslant t<n,则

x^m=e\Leftrightarrow a^{tm}=e\Leftrightarrow n\mid tm

由于 m 整除 n,即存在正整数 k,使得 n=km.于是 k 整除 t.

k\mid t\Rightarrow t=sk\qquad \text{其中 }s\text{ 为整数}

t 是 k 的倍数，又由于 t<n,因此 t=0,1,\cdots,(m-1)k.从而得到 x=a^0,a^k,a^{2k},\cdots,a^{(m-1)k}.容易验证以上 a 的幂都是方程的解，且两两不等.

14.24 所有的置换是：（1），（12），（34），（12）（34），（13）（24），（14）（23），（1423），（1324）；根据乘法的封闭性可知这些置换构成 S_4 的子群.

14.25 考虑 n 元对称群 S_n,设在表示式中具有 r 个不交轮换的置换有 \begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix} 个，得到这种置换的方法有两种：在 S_{n-1} 的每个含 r-1 个轮换的置换中加入 1 阶轮换 (n),方法有 \begin{bmatrix}n-1\\r-1\end{bmatrix} 种；从 S_{n-1} 的每个含有 r 个轮换的置换中加入 n，加入的方法有 n-1 种，于是得到如下递推方程

\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\r\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\r-1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}=0,\qquad \begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!

不难看出，这个递推方程的形式和初值都与第一类 Stirling 数的方程完全一样.因此有 \binom{n}{r}=\begin{bmatrix}n\\r\end{bmatrix}.

待核：上式左端在原书中为带圆括号的记号（与带方括号的第一类 Stirling 数记号相区别），此处按排版惯例写作 \binom{n}{r}.

14.26 先考虑封闭性.\forall x,y\in G,则

\begin{aligned} (f+g)(x+y)&=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)\\ &=(f+g)(x)+(f+g)(y) \end{aligned}
\begin{aligned} f\circ g(x+y)&=g(f(x+y))=g(f(x)+f(y))\\ &=g(f(x))+g(f(y))=f\circ g(x)+f\circ g(y) \end{aligned}

f+g 与 f\circ g 都是同态，因此 \mathrm{End}G 关于 + 和 \circ 运算封闭.显然 + 在 \mathrm{End}G 中满足交换律.下面验证结合律.\forall f,g,h\in\mathrm{End}G,\forall x\in G,

\begin{aligned} ((f+g)+h)(x)&=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)\\ &=f(x)+(g(x)+h(x))=((f+g)+h)(x) \end{aligned}

待核：上式末项原书亦印作 ((f+g)+h)(x)，按结合律应指 (f+(g+h))(x)；此处逐字保留原书排版.

(f+f_0)(x)=f(x)+f_0(x)=f(x)+0=f(x)

其中 f_0:G\rightarrow G,f_0(x)=0 为零同态，这里的 0 是群 G 的单位元.于是 f+f_0=f,同理可证 f_0+f=f.令 g:G\rightarrow G,g(x)=-f(x),那么

(f+g)(x)=f(x)-f(x)=0,\qquad (g+f)(x)=-f(x)+f(x)=0

因此 g 是 f 的负元.综上所述，\mathrm{End}G 关于 + 运算构成 Abel 群.由于函数复合运算满足结合律，\mathrm{End}G 关于 \circ 运算构成半群.\forall f,g,h\in\mathrm{End}G,\forall x\in G,则

\begin{aligned} f\circ(g+h)(x)&=(g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x))\\ &=f\circ g(x)+f\circ h(x)=(f\circ g+f\circ h)(x) \end{aligned}

因此 f\circ(g+h)=f\circ g+f\circ h.同理可证右分配律也成立.于是 \langle\mathrm{End}G,+,\circ\rangle 构成环.

14.27 0\in R_1,R_1 非空.\forall x,y\in R_1,则

(x-y)a=xa-ya=0-0=0

因此 x-y\in R_1. \forall x,y\in R_1,有

(xy)a=x(ya)=x0=0

因此 xy\in R_1.于是，R_1 是 R 的子环.

14.28 任何有理数可以表示为 p/q,其中 p,q 为整数,q>0,p 与 q 互素.如果 f 为自同构，那么满足 f:\mathbf{Q}\rightarrow\mathbf{Q},且 f(0)=0,f(1)=1,因此

\forall x\in\mathbf{Z}^+,\ f(x)=f(1+1+1+\cdots+1)=f(1)+f(1)+\cdots+f(1)=x
\forall x\in\mathbf{Z}^-,\ \text{令 }x=-y,\text{则 }f(x)=f(-y)=-f(y)=-y=x
\forall x\in\mathbf{Q}^+,\ x=p/q,\quad f(x)=f(p/q)=f(pq^{-1})=f(p)f(q^{-1})
=p f(q)^{-1}=pq^{-1}=p/q=x
\forall x\in\mathbf{Q}^-,\ x=-p/q,\ f(x)=f(-p)f(q^{-1})=-f(p)f(q^{-1})=-p/q=x

从而证明了 f 为恒等映射.

14.29 （1）由于 a^2=a,于是有

a+a+a+a=a^2+a^2+a^2+a^2=(a+a)^2=a+a

根据环中加法的消去律，得 a+a=0.

（2）任取 a,b\in R,则

\begin{aligned} &(a+b)^2=a+b\Rightarrow a^2+ab+ba+b^2=a+b\\ &\Rightarrow a+ab+ba+b=a+b\Rightarrow ab+ba=0\\ &\Rightarrow ab+ba=ab+ab \end{aligned}

根据环中加法的消去律，有 ab=ba.

14.30

(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1
(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=1

于是 b^{-1}a^{-1} 是 ab 的逆元，即 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

14.31 （1）\times　（2）\surd　（3）\times　（4）\times

说明：（1）乘法不封闭；（2）因为整环有消去律，但是积代数不一定保持消去律，因此不一定是整环；（3）2^n 元的格中只有一个是布尔格；（4）在有补格中每个元素都有补元，但是有的元素具有多个补元，不是唯一的，因此求补不构成一元运算.

14.32 （1）G 的子群有：\langle1\rangle,\langle2\rangle,\langle3\rangle,\langle6\rangle,\langle9\rangle,\langle0\rangle.

（2）子群格的哈斯图如图 14.3 所示.

（3）这个格是分配格、不是有补格和布尔代数.

14.33 哈斯图如图 14.4 所示.这个格是分配格、有界格、有补格、布尔格.

答案书图14.3

图 14.3

答案书图14.4

图 14.4

14.34 （1）G 的自同构有 4 个，是 f_i:Z_7\rightarrow Z_7,f_i(x)=(\xi)\bmod 5,i=1,2,3,4,自同构群 \mathrm{Aut}G=\{f_1,f_2,f_3,f_4\},其运算表如表 14.8 所示.

（2）\mathrm{Aut}G 的子群：H_1=\{f_1\},H_2=\{f_4,f_1\},\mathrm{Aut}G,子群格 L 的哈斯图如图 14.5 所示.

表 14.8

f_1f_2f_3f_4
f_1f_1f_2f_3f_4
f_2f_2f_4f_1f_3
f_3f_3f_1f_4f_2
f_4f_4f_3f_2f_1

答案书图14.5

图 14.5

（3）L 是分配格，不是有补格与布尔格.

14.35 （1）哈斯图如图 14.6 所示，是一条链.

（2）是格，也是分配格，不是有补格和布尔格.

14.36 （1）

A_0=\{x\mid x\in\mathbf{R}\wedge 0\leqslant x\leqslant 1\}=[0,1]
A_1=\{x\mid x\in\mathbf{R}\wedge -1\leqslant x\leqslant 2\}=[-1,2]
A_2=\{x\mid x\in\mathbf{R}\wedge 0\leqslant x\leqslant 3\}=[0,3]
A_3=\{x\mid x\in\mathbf{R}\wedge -1\leqslant x\leqslant 4\}=[-1,4]
A_4=\{x\mid x\in\mathbf{R}\wedge -2\leqslant x\leqslant 5\}=[-2,5]

哈斯图如图 14.7 所示.极大元、最大元是 A_4,极小元、最小元是 A_0.

（2）构成有界格、分配格.

14.37 （1）不是，9 与 12 在 L 中的最小公倍数是 36,但是 36 不属于 A.

（2）不是，2 与 3 在 L 中的最小公倍数是 6,但是 6 不属于 B.

（3）是，因为两个运算都封闭.

14.38 所有的 5 元格如图 14.8 所示.

答案书图14.6

图 14.6

答案书图14.7

图 14.7

答案书图14.8

图 14.8

图 14.8 中都是有界格，其中 L_1,L_2,L_3 是分配格，L_4 和 L_5 是有补格.没有布尔格.

14.39 1 元子格：\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\}；

2 元子格：\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{b,c\},\{b,d\},\{b,e\},\{c,e\},\{d,e\}；

3 元子格：\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b,e\},\{a,c,e\},\{a,d,e\},\{b,c,e\},\{b,d,e\}；

4 元子格：\{a,b,c,e\},\{a,b,d,e\},\{b,c,d,e\}；

5 元子格：\{a,b,c,d,e\}.

14.40 （3）\forall a\in L,显然有 a\leqslant a\vee a,又由于 a\leqslant a,于是 a\vee a\leqslant a,根据偏序的反对称性得到 a\vee a=a.再使用对偶原理得到 a\wedge a=a.

（4）\forall a,b\in L,显然有 a\leqslant a\vee(a\wedge b).另外一方面，由 a\leqslant a 和 a\wedge b\leqslant a 得到 a\vee(a\wedge b)\leqslant a.利用偏序的反对称性，得到 a\vee(a\wedge b)=a.再使用对偶原理得到 a\wedge(a\vee b)=a.

14.41 在同构的意义下，2 元群只有一个，就是 2 阶循环群.在同构的意义下，2 元的偏序集只有 2 个.一个是不含有边的，这是恒等关系，不是格.另外一个就是含有 1 条边的，这是 2 元的布尔格.

14.42 （1）

a\vee(a'\wedge b)=(a\vee a')\wedge(a\vee b)=1\wedge(a\vee b)=a\vee b

（2）由 a\wedge b'=0 得 (a\wedge b')'=1,即 a'\vee b=1.由 a'\vee b=1 得

a=a\wedge 1=a\wedge(a'\vee b)=(a\wedge a')\vee(a\wedge b)=0\vee(a\wedge b)=a\wedge b

而由 a=a\wedge b,a\wedge b\leqslant b,得到 a\leqslant b.

若 a\leqslant b,那么由 a\leqslant a,a\leqslant b 得 a\leqslant a\wedge b,显然 a\wedge b\leqslant a,从而得到 a=a\wedge b,于是有

a\wedge b'=(a\wedge b)\wedge b'=a\wedge(b\wedge b')=a\wedge 0=0

综合上述，证明了这三个命题都是等价的.

14.43 （1）是格，也是布尔代数.

（2）不是格.实际上这个代数系统是环.

（3）是格，是一条长度大于 2 的链.因此除了 0 与 n 互补以外，其他元素没有补元，因此不是布尔代数.