习题 2

本节对应原书 PDF 第 75–81 页（习题题干）与答案书 PDF 第 37–61 页（解答）. 题干与答案书的原解答逐字保留，属原文层；标有「解读」的引用块与 :::details 折叠块内为 AI 补充的内容。

习题题干

习　题

2.1 下列语句中哪些是命题? 在是命题的语句中,哪些是真命题? 哪些是假命题? 哪些命题的真值现在(2008 年 2 月)还不知道?

(1) 2 是素数吗?

(2) 17 只能被 1 和它本身整除.

(3) 请别说话!

(4) 2+3=8.

(5) 真累呀!

(6) 宇宙间只有地球上有生命.

(7) 大偶数都是两个素数之和.

(8) x+2=7.

(9) 3+\sqrt{5}.

(10) 喜玛拉雅山最高.

2.2 写出下列各命题的真值,并指出哪些是简单命题.

(1) 177 乘 255 之积是偶数.

(2) \pi 与 \sqrt{5} 都是无理数.

(3) 98 与 99 是相邻的自然数.

(4) 长江与黄河是中国两条最长的河.

(5) 若 n 为自然数,则 n 与 n+1 一个是奇数,一个是偶数.

(6) 6 或 9 是偶数.

(7) 6 或 9 是奇数.

2.3 设 p: 雪是白色的.

q: 纽约是美国的首都.

求下列复合命题的真值.

(1) \neg p\vee q.

(2) p\wedge \neg q.

(3) p\rightarrow q.

(4) \neg p\leftrightarrow q.

(5) (p\wedge q)\rightarrow(p\vee \neg q).

2.4 指出下列陈述句中,哪些是相容或? 哪些是排斥或? 并将它们符号化.

(1) 王志大是黑龙江或吉林人.

(2) 李小川生于 1990 年或 1991 年.

(3) 刘文虎现在在宿舍或在图书馆里.

(4) 4 是偶数或是奇数.

(5) 自然数 n 是偶数,或自然数 m 是奇数.

(6) 张海燕去过美国或去过加拿大.

(7) 赵元元只能选学英语或只能选学法语.

2.5 将下列陈述句符号化.

(1) 刘丽华聪明用功.

(2) 李秀与张华都是东北人.

(3) 郑小虎一面吃饭,一面看电视.

(4) 2 是偶素数.

(5) 虽然天气很冷,可人们情绪很高.

(6) 张小强不仅能吃苦,而且很能干.

(7) 李梅与李珊是亲姐妹.

(8) 赵志全与张钟山是同乡人.

2.6 设 p: 王蓉努力学习.

q: 王蓉取得好成绩.

将下列陈述句符号化.

(1) 只要王蓉努力学习,她就会取得好成绩.

(2) 王蓉取得好成绩,如果她努力学习.

(3) 只有王蓉努力学习,她才能取得好成绩.

(4) 除非王蓉努力学习,否则她不能取得好成绩.

(5) 假如王蓉不努力学习,她就不能取得好成绩.

(6) 王蓉取得好成绩,仅当她努力学习了.

2.7 将下列命题符号化,并指出各命题的真值.

(1) 若 2+3=5,则地球是方的.

(2) 若 2+3=5,则法国是欧洲国家.

(3) 若雪是黑色的,则 \sqrt{5} 是有理数.

(4) 若雪是黑色的,则 \sqrt{5} 是无理数.

2.8 将下列命题符号化,并指出它们的真值.

(1) 2>3 当且仅当 5>7.

(2) \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} 的充要条件是 \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}.

(3) 2+2\neq 4 与 4+4=8 互为充要条件.

(4) 如果 \sqrt{2} 是无理数,则 \sqrt{3} 也是无理数,反之亦然.

2.9 将下列陈述语句符号化,并讨论真值.

(1) 若今天是 1 号,则明天是 2 号.

(2) 只有今天是 1 号,明天才是 2 号.

(3) 今天是 1 号当且仅当明天是 2 号.

(4) 若今天是 1 号,则明天是 3 号.

2.10 设 p: 俄罗斯的首都是莫斯科.

q: 2+5=7.

r: 日本位于北美洲.

求下列各复合命题的真值.

(1) (p\wedge \neg q)\rightarrow r.

(2) (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow r.

(3) (\neg p\vee q\vee r)\wedge \neg r.

(4) (p\wedge q\wedge \neg r)\rightarrow(\neg p\vee \neg q\vee r).

2.11 当 p,q 的真值为 0,r,s 的真值为 1 时,求下列各公式的真值.

(1) (p\vee(q\wedge r))\rightarrow(r\vee s).

(2) (p\leftrightarrow r)\wedge(\neg q\vee s).

(3) (\neg p\wedge \neg q\wedge r)\leftrightarrow(p\wedge q\wedge \neg r).

(4) (\neg p\wedge \neg q\wedge r\wedge s)\vee(p\wedge q\wedge r\wedge s).

2.12 用真值表判断下列公式的类型.

(1) p\rightarrow(p\vee q\vee r).

(2) \neg(\neg q\vee p)\wedge p.

(3) (p\rightarrow q)\rightarrow(\neg q\rightarrow \neg p).

(4) (p\wedge r)\leftrightarrow \neg(p\vee q).

2.13 设 p,q,r 为任意的个体变项,用真值表验证下列各式.

(1) 结合律:(p\vee q)\vee r\Leftrightarrow p\vee(q\vee r),

(p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r).

(2) 分配律:p\vee(q\wedge r)\Leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p\vee r),

p\wedge(q\vee r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r).

2.14 设 p,q 为任意的个体变项,用真值表验证下列各式.

(1) 吸收律:p\vee(p\wedge q)\Leftrightarrow p,p\wedge(p\vee q)\Leftrightarrow p.

(2) 同一律:p\vee 0\Leftrightarrow p,p\wedge 1\Leftrightarrow p.

(3) 归谬论:(p\rightarrow q)\wedge(p\rightarrow \neg q)\Leftrightarrow \neg p.

2.15 用真值表证明下列蕴涵式为重言式.

(1) (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r)\rightarrow(p\rightarrow r).

(2) ((p\vee q)\wedge(p\rightarrow r)\wedge(q\rightarrow r))\rightarrow r.

2.16 用真值表证明下列各式.

(1) (p\rightarrow q)\rightarrow r\not\Leftrightarrow p\rightarrow(q\rightarrow r).

(2) p\rightarrow(q\rightarrow r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\rightarrow r.

2.17 设 A,B,C 为任意的命题公式.

(1) 若 A\vee C\Leftrightarrow B\vee C,A\Leftrightarrow B 一定为真吗?

(2) 若 A\wedge C\Leftrightarrow B\wedge C,A\Leftrightarrow B 一定为真吗?

(3) 若 \neg A\Leftrightarrow \neg B,A\Leftrightarrow B 一定为真吗?

2.18 用等值演算法证明下列各式为重言式.

(1) (p\rightarrow q)\rightarrow(\neg q\rightarrow \neg p).

(2) ((\neg p\vee q)\wedge(q\rightarrow r))\rightarrow(\neg p\vee r).

2.19 用等值演算法证明下列各式为矛盾式.

(1) \neg(p\rightarrow q)\wedge q\wedge r.

(2) \neg(p\rightarrow(p\vee q)).

2.20 用等值演算法证明下面等值式.

(1) ((p\rightarrow q)\wedge(p\rightarrow r))\Leftrightarrow(p\rightarrow(q\wedge r)).

(2) \neg(p\leftrightarrow q)\Leftrightarrow((p\vee q)\wedge \neg(p\wedge q)).

2.21 将下面公式化成与之等值的并且仅含 \{\neg,\vee,\wedge\} 中联结词的公式.

(1) p\rightarrow(q\rightarrow r).

(2) \neg(p\rightarrow q)\vee r.

(3) p\leftrightarrow q.

2.22 将下面公式化成与之等值的并且仅含 \{\neg,\wedge\} 中联结词的公式.

(1) (p\wedge q)\vee \neg r.

(2) (p\rightarrow q)\rightarrow r.

2.23 将下面公式化成与之等值的并且仅含 \{\neg,\vee\} 中联结词的公式.

(1) p\wedge q\wedge \neg r.

(2) \neg p\wedge \neg(p\wedge r).

(3) p\leftrightarrow q.

2.24 将下面公式化成与之等值的并且仅含 \{\neg,\rightarrow\} 中联结词的公式.

(1) p\vee q\vee r.

(2) (p\rightarrow q)\wedge \neg r.

2.25 将下面公式化成与之等值的并且仅含联结词 \uparrow 和仅含联结词 \downarrow 的公式.

(1) p\rightarrow q.

(2) \neg p\vee q.

2.26 用等值演算法求下列公式的主析取范式,并求成真赋值.

(1) (\neg p\rightarrow q)\rightarrow(\neg q\vee p).

(2) \neg(\neg p\vee q)\wedge q.

(3) (p\vee(q\wedge r))\rightarrow(p\vee q\vee r).

2.27 求题 2.26 中各小题的主合取范式,并求成假赋值.

2.28 通过求主析取范式,求下列公式的主合取范式.

(1) (p\wedge q)\vee r.

(2) (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r).

2.29 用真值表求下列公式的主析取范式.

(1) (p\wedge q)\vee(\neg p\wedge r).

(2) (p\rightarrow q)\rightarrow(p\leftrightarrow \neg q).

2.30 用主析取范式判断下列各组公式是否等值.

(1) p\rightarrow(q\rightarrow r) 与 q\rightarrow(p\rightarrow r).

(2) (p\rightarrow q)\rightarrow r 与 (p\wedge q)\rightarrow r.

2.31 某公司要从赵、钱、孙、李、周 5 名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件:

(1) 若赵去,钱也去.

(2) 李、周两人中必有一人去.

(3) 钱、孙两人中去且仅去一人.

(4) 孙、李两人同去或同不去.

(5) 若周去,则赵、钱也同去.

用等值演算法分析该公司如何选派他们出国?

2.32 设 p: 王小川是文科生. q: 王小川爱看小说. 写出下面各推理的形式结构,并用真值表、主析取范式等方法判断下列各推理是否正确.

(1) 若王小川是文科生,则他爱看小说. 王小川是文科生. 所以他爱看小说.

(2) 若王小川爱看小说,则他是文科生. 王小川是文科生. 所以他爱看小说.

(3) 若王小川爱看小说,则他是文科生. 王小川不是文科生. 所以他不爱看小说.

2.33 有一盏灯由 3 个开关控制,要求按任何一个开关都能使灯由亮变黑或由黑变亮. 试设计控制这盏灯的组合电路,写出它的逻辑表达式.

2.34 (1) 二进制半加器有 2 个输入 x 和 y,2 个输出 s 和 c,其中 x 和 y 是被加数,s 是半和,c 是进位. 试写出 s 和 c 的逻辑表达式.

(2) 二进制全加器有 3 个输入 x,y 和 z,2 个输出 s 和 c,其中 x 和 y 是被加数,z 是前一位的进位,s 是和,c 是进位. 试写出 s 和 c 的逻辑表达式.

2.35 构造下面各推理的证明.

(1) 前提:\neg p\vee q,q\rightarrow r,\neg r.

结论:\neg p.

(2) 前提:p\rightarrow(q\rightarrow s),p\vee \neg r,q.

结论:r\rightarrow s.

(3) 前提:p\rightarrow q,p\rightarrow r.

结论:p\rightarrow(q\wedge r).

2.36 构造下面推理的证明.

小王学过英语或日语. 如果小王学过英语,则他去过英国. 如果他去过英国,他也去过日本. 所以小王学过日语或去过日本.

2.37 构造下面推理的证明.

如果李淑敏是理科生,她一定学微积分,如果她不是文科学生,她一定是理科学生. 她没学微积分. 所以她是文科生.

2.38 用归谬法证明下面推理.

(1) 前提:p\rightarrow \neg q,\neg r\vee q,r\wedge \neg s.

结论:\neg p.

(2) 前提:p\vee q,p\rightarrow r,q\rightarrow s.

结论:r\vee s.

2.39 用归结法证明下面推理.

前提:\neg p\rightarrow q,p\rightarrow r,r\rightarrow s.

结论:q\vee s.

2.40 用归结法证明下面推理.

前提:p,\neg p\vee r,\neg r\vee s.

结论:s.

2.41 用归结法证明下面推理.

前提:p\rightarrow(q\rightarrow s),r\rightarrow p,q.

结论:r\rightarrow s.

2.42 用归结法证明下面推理.

如果周强是上海人,则他是复旦大学或中山大学的学生. 如果他不想离开上海,他就不是中山大学学生. 周强是上海人并且不想离开上海. 所以他是复旦大学学生.

习题解答与分析

以下解答逐字取自答案书（PDF 物理页 p37–p61），属原文层，不放入折叠块。

待核：本文件解答已写到 2.6（对应答案书 p37–p39）。2.7–2.42 的解答位于答案书 p40–p61（22 页），因单会话读图额度耗尽未转录，需后续批次补齐；题干部分已完整。

2.1 （2）、（4）、（6）、（7）、（10）为命题，其中（2）和（10）为真命题，（4）为假命题，（6）、（7）的真值现在还不知道.

分析 命题是具有唯一真值的陈述句.本题中，（1）是疑问句，（3）是祈使句，（5）是感叹句，所以它们都不是陈述句，因而都不是命题.（9）不是句子，在这里没出现谓语（或表语），因而（9）不是命题.（8）是陈述句，但它没有确定的真值，当 x=5 时，5+2=7 为真，而当 x\neq 5 时，x+2=7 为假，故它是真值不确定的陈述句，因而（8）不是命题.

命题（2）是真命题.因为 17 是素数（质数），所以 17 的因子只有 1 和 17，故 17 只能被 1 和本身整除.

命题（4）是假命题.因为 2+3=5\neq 8.

命题（6）是具有唯一真值的陈述句，但它的真值现在还不能确定，但随着科学的发展，它的真值一定会知道的.

命题（7）是具有唯一真值的陈述句.这个命题即为哥德巴赫猜想.我国数学家陈景润等对哥德巴赫猜想作出了很大贡献，但到现在为止，此猜想并没有得到证明，可是它的真值是唯一的，因而它是命题.随着时间的推移，这个猜想总会被证明是对的，或者是错的，那时客观存在的真值就会真相大白了.

（6）、（7）两个命题说明，命题的真值是客观存在的，与我们现在是否知道无关.

2.2 除（1）为假命题，其余 6 个命题全是真命题.其中（1）、（3）、（4）是简单命题.

分析 命题（1）陈述句中，"177 乘 255"是主语，"是偶数"是谓语，因而陈述句"177 乘 255 是偶数"是简单陈述句，所以（1）中命题是简单命题，真值为假.

命题（2）为"\pi 是无理数，并且 \sqrt{5} 是无理数"简化的叙述方式，是两个简单命题的合取式.可符号化为 p\wedge q，其中，p：\pi 是无理数，q：\sqrt{5} 是无理数.因为 p 与 q 均为真命题，所以 p\wedge q 为真命题.

命题（3）中，"98 与 99"是主语，"是相邻的自然数"是谓语，因而命题（3）是简单命题.

命题（4）中，主语是"长江与黄河"，谓语是"是中国两条最长的河"，因而是简单命题.

若将命题改为"长江与黄河都是中国较长的河"，则命题为复合命题，符号化为 p\wedge q，其中，p：长江是中国较长的河，q：黄河是中国较长的河.

命题（5）是蕴涵式，其前件为"n 是自然数"，后件为"n 与 n+1 一个是奇数，一个是偶数".符号化为 p\rightarrow((q\wedge\neg r)\vee(\neg q\wedge r)).其中，p：n 为自然数，q：n 为奇数（\neg q：n 为偶数），r：(n+1) 为奇数（\neg r：(n+1) 为偶数）.当前件 p 为假时，蕴涵式为真，当 p 为真时，后件也为真，所以此命题为真命题.

命题（6）符号化为 p\vee q，其中，p：6 是偶数，q：9 是偶数.因为 p 为真，所以复合命题为真.

命题（7）符号化为 p\vee q，其中，p：6 是奇数，q：9 是奇数.因为 q 为真，所以复合命题为真.

2.3 命题（1）～命题（5）的真值分别为 0、1、0、1、1.

分析 这里只需注意 p 是真命题，即 p 的真值为 1，\neg p 的真值为 0，q 是假命题，即 q 的真值为 0，\neg q 的真值为 1.

（1）\neg p\vee q 的真值为 0，即命题"雪不是白色的或纽约是美国的首都"是假命题.

（2）p\wedge\neg q 的真值为 1，即命题"雪是白色的并且纽约不是美国的首都"是真命题.

（3）p\rightarrow q 的真值为 0（前件为真，后件为假），即命题"如果雪是白色的，则纽约是美国的首都"是假命题.

（4）\neg p\leftrightarrow q 的真值为 1（\neg p 与 q 同为假），即命题"雪不是白色的当且仅当纽约是美国的首都"是真命题.

（5）(p\wedge q)\rightarrow(p\vee\neg q) 的真值为 1，即命题"若雪是白色的并且纽约是美国的首都，则雪是白色的或纽约不是美国的首都"是真命题.

2.4 只有（5）与（6）是相容或，其余的都是排斥或.它们的符号化分别为：

（1）(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，其中，p：王志大是黑龙江人，q：王志大是吉林人.

（2）(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，其中，p：李小川生于 1990 年，q：李小川生于 1991 年.

（3）(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，其中，p：刘文虎在宿舍里，q：刘文虎在图书馆里.

（4）(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，其中，p：4 是偶数，q：4 是奇数.

（5）p\vee q，其中，p：自然数 n 是偶数，q：自然数 m 是奇数.

（6）p\vee q，其中，p：张海燕去过美国，q：张海燕去过加拿大.

（7）(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，其中，p：赵元元选学英语，q：赵元元选学法语.

分析 ① 相容或（p\vee q）与排斥或（(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)）的区别.当 p、q 的真值分别为 0,0、0,1、1,0 时，(p\vee q) 与 ((p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)) 的真值都分别为 0,1,1.只有在 p、q 分别为 1,1 时，(p\vee q) 的真值为 1，而 ((p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)) 的真值为 0.

② 在（1）、（2）、（3）、（4）中的 p 与 q 都是互相排斥的，即 p 与 q 的真值不能同时为真（王志大不能同时为黑龙江人又为吉林人，李小川不能生于 1990 年又生于 1991 年，刘文虎不能

同时在宿舍和图书馆里），即 p 与 q 的真值不能同时为 1.所以（1）～（4）又可以符号化为 p\vee q.但（7）中情况不同，赵元元可以又选学英语，又选学法语，即（7）中 p 与 q 可以同时为真，为了限制赵元元只选学一门外语，必须使用排斥或形式：(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)，而不能用 p\vee q 形式.

2.5 （1）p\wedge q，其中，p：刘丽华聪明，q：刘丽华用功.

（2）p\wedge q，其中，p：李秀是东北人，q：张华是东北人.

（3）p\wedge q，其中，p：郑小虎吃饭，q：郑小虎看电视.

（4）p\wedge q，其中，p：2 是偶数，q：2 是素数.

（5）p\wedge q，其中，p：天气冷，q：人们情绪很高.

（6）p\wedge q，其中，p：张小强能吃苦，q：张小强能干.

（7）p，其中，p：李梅与李珊是亲姐妹.

（8）p，其中，p：赵志全与张钟山是同乡人.

分析 本题的目的有两个：

① 合取联结词 \wedge 应用的灵活性.在自然语言中，当用"和"、"与"、"并且"、"一面，一面"、"虽然……但是"、"不仅……而且"等将两个陈述语句联结起来时均使用联结词 \wedge.有时，还将以上联结词省略，但符号化时，\wedge 可不能省掉（例如本题中的（1）与（4））.

② 要注意"和"、"与"所联结的是两个陈述句，还是某个陈述句中的句子成分.例如，本题中，（7）与（8）都是一个陈述句，而且是简单陈述句，其中"与"联结的是句子的主语成分，因而符号化时不出现联结词.

2.6 （1）p\rightarrow q.

（2）p\rightarrow q.

（3）q\rightarrow p 或 \neg p\rightarrow\neg q.

（4）\neg p\rightarrow\neg q 或 q\rightarrow p.

（5）\neg p\rightarrow\neg q 或 q\rightarrow p.

（6）q\rightarrow p.

分析 本题练习蕴涵式"p\rightarrow q"的使用方法.在 p\rightarrow q 中，p 与 q 的逻辑关系是 q 是 p 的必要条件（p 是 q 的充分条件）. q 是 p 的必要条件，有多种不同的叙述方法，例如：

① 如果 p，则 q；

② 只要 p，就 q；

③ 因为 p，所以 q；

④ p 仅当 q；

⑤ 只有 q，才 p；

⑥ 除非 q，否则非 p（除非 q，才 p）；

⑦ 假如没有 q，就没有 p.

……

在本题中，命题（1）为②的形式，命题（2）为①的形式，命题（3）为⑤的形式，命题（4）为⑥的形式，命题（5）为⑦的形式，命题（6）为④的形式.

注意 \neg p\rightarrow\neg q 与 q\rightarrow p 是等值的，均说明 p 是 q 的必要条件.

有时蕴涵式在叙述中并没有出现联结词，但由因果关系，也可以找到蕴涵式的前件与