本节对应原书 PDF 第 216–218 页（印刷 p201–p203）。定义、定理、公式、例题及其原解答逐字取自原书；解释性文字为 AI 通俗化改写；标有「解读」的引用块为 AI 补充的额外直觉。

8.4.1 多项式定理

二项式定理可以推广为多项式定理.

定理 8.6 设 n 为正整数，x_i 为实数，i = 1, 2, \cdots, t. 那么有

(x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n = \sum_{\substack{n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n \\ n_i \text{ 为非负整数}}} \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} x_1^{n_1} x_2^{n_2} \cdots x_t^{n_t}

这里 \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}，称为多项式系数.

证明 展开式中的项 x_1^{n_1} x_2^{n_2} \cdots x_t^{n_t} 是如下构成的：在 n 个因式中选 n_1 个因式贡献 x_1，从剩下的 n - n_1 个因式选 n_2 个因式贡献 x_2，\cdots，从剩下的 n - n_1 - n_2 - \cdots - n_{t-1} 个因式中选 n_t 个因式贡献 x_t. 根据乘法法则，这种项的个数是

\dbinom{n}{n_1}\dbinom{n-n_1}{n_2}\cdots\dbinom{n-n_1-\cdots-n_{t-1}}{n_t} = \dfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!} = \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}

不难看出二项式定理是多项式定理的特殊情况. 当 t = 2 时有

\dbinom{n}{n_1 n_2} = \dfrac{(n_1 + n_2)!}{n_1! n_2!} = C(n, n_1)

因此，多项式定理就变成了二项式定理.

多项式定理有下面的推论.

推论 1 在多项式定理的展开式中，右边不同的项数为不定方程 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 的非负整数解的个数 \dbinom{n+t-1}{n}.

证明 根据定理 8.6，项 x_1^{n_1} x_2^{n_2} \cdots x_t^{n_t} 中的指数和方程 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 的非负整数解之间存在一一对应.

推论 2 \sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n，其中求和是对方程 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 的所有的非负整数解求和.

证明 在多项式公式中令 x_i = 1，i = 1, 2, \cdots, t.

例 8.20 求 (2x_1 - 3x_2 + 5x_3)^6 中 x_1^3 x_2 x_3^2 的系数.

解 由多项式定理得

\dbinom{6}{312}2^3 \cdot (-3) \cdot 5^2 = \dfrac{6!}{3!1!2!}8 \cdot (-3) \cdot 25 = -36\,000

解读：推论 1 说「展开式有 \dbinom{n+t-1}{n} 项」——这正是第 8.1 节「n 个相同球放入 t 个不同盒子」的公式；推论 2 说「所有多项式系数之和为 t^n」——正是「n 个位置每个位置有 t 种选择」. 两条推论都是同一个组合模型的不同侧面.

8.4.2 多项式系数

多项式系数 \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 经常在一些组合问题中出现，回顾 8.2.2 节，它恰好是多重集 S = \{n_1 \cdot a_1, n_2 \cdot a_2, \cdots, n_t \cdot a_t\} 的全排列数，同时它也对应了 n 个不同的球放到 t 个不同的盒子里，使得第一个盒子含有 n_1 个球，第二个盒子含有 n_2 个球，\cdots，第 t 个盒子含有 n_t 个球的方法数. 先从 n 个球中选出 n_1 个球放入第一个盒子，然后从剩下的 n - n_1 个球中选出 n_2 个球放入第二个盒子，\cdots，最后从 n - n_1 - n_2 - \cdots - n_{t-1} 个球中选 n_t 个球放入第 t 个盒子，根据乘法法则，放球的方法数恰好为

\dbinom{n}{n_1}\dbinom{n-n_1}{n_2}\cdots\dbinom{n-n_1-\cdots-n_{t-1}}{n_t} = \dfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!} = \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}

与二项式系数类似，多项式系数 \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 也存在一些恒等式. 常见的恒等式除了上述的推论 2 以外，还有下面的恒等式

\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dbinom{n-1}{n_1 - 1\ n_2 \cdots n_t} + \dbinom{n-1}{n_1\ n_2 - 1 \cdots n_t} + \cdots + \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots n_t - 1}

这个恒等式是关于多项式系数的递推公式，可以采用组合分析的方法加以证明. 等式左边计数了 n 个不同的球放到 t 个不同的盒子里并且要求第一个盒子里含有 n_1 个球，第二个盒子里含有 n_2 个球，\cdots，第 t 个盒子里含有 n_t 个球的方法数. 任取一个球，比如说 a_1，然后

将所有的放球方法如下进行分类：

a_1 放到第一个盒子的方法数为 \dbinom{n-1}{n_1 - 1\ n_2 \cdots n_t}；

a_1 放到第二个盒子的方法数为 \dbinom{n-1}{n_1\ n_2 - 1 \cdots n_t}；

\vdots

a_1 放到第 t 个盒子的方法数为 \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots n_t - 1}.

由加法法则等式右边也计数了总的放球方法数.

回顾 8.2 节多重集排列问题，多项式系数 \dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 恰好就是多重集 S = \{n_1 \cdot a_1, n_2 \cdot a_2, \cdots, n_t \cdot a_t\} 的全排列数，上面的证明进一步指出多项式系数也计数了 n 个不同的球放到 t 个不同的盒子里并且要求第一个盒子里含有 n_1 个球，第二个盒子里含有 n_2 个球，\cdots，第 t 个盒子里含有 n_t 个球的方法数. 放球问题也是一个重要的组合计数模型，这里计数的只是它的一个子类. 其他情况的计数结果将在第 10 章介绍.

解读：多项式系数的递推式 \dbinom{n}{n_1 \cdots n_t} = \sum_{i=1}^{t}\dbinom{n-1}{n_1 \cdots n_i - 1 \cdots n_t} 与二项式的 Pascal 公式 \dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1} 是同一条规律：盯住某个特定的球 a_1，它只能落进 t 个盒子之一，按它落在哪个盒子分类，就得到 t 项之和.